Номер 811, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 811, страница 212.

811 Через точки A и B проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла AOB и пересекающиеся в точке С внутри угла. Докажите, что около четырёхугольника АСВО можно описать окружность.

Рассмотрим четырёхугольник, образованный точками $A$, $C$, $B$ и $O$. По условию задачи, через точку $A$ проведена прямая, перпендикулярная стороне $OA$ угла $AOB$. Так как эта прямая проходит через точку $C$, то прямая $AC$ перпендикулярна лучу $OA$. Следовательно, внутренний угол четырёхугольника при вершине $A$, то есть $ \angle OAC $, является прямым:

$ \angle OAC = 90^\circ $.

Аналогично, через точку $B$ проведена прямая, перпендикулярная стороне $OB$. Эта прямая также проходит через точку $C$, поэтому прямая $BC$ перпендикулярна лучу $OB$. Следовательно, внутренний угол четырёхугольника при вершине $B$, то есть $ \angle OBC $, является прямым:

$ \angle OBC = 90^\circ $.

В четырёхугольнике $ACBO$ углы при вершинах $O$ и $C$ являются противолежащими, так же как и углы при вершинах $A$ и $B$. Воспользуемся свойством вписанного четырёхугольника, которое гласит, что около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $ 180^\circ $.

Рассмотрим сумму противолежащих углов $ \angle OAC $ и $ \angle OBC $:

$ \angle OAC + \angle OBC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $.

Поскольку сумма противолежащих углов в четырёхугольнике $ACBO$ равна $ 180^\circ $, мы можем заключить, что около него можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

(В качестве альтернативы можно было рассмотреть другую пару противолежащих углов, $ \angle AOB $ и $ \angle ACB $. Сумма всех углов четырёхугольника равна $ 360^\circ $, поэтому $ \angle AOB + \angle ACB = 360^\circ - (\angle OAC + \angle OBC) = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ $, что также доказывает утверждение.)

Ответ: Утверждение доказано. Около четырёхугольника ACBO можно описать окружность, так как сумма его противолежащих углов, например, $ \angle OAC $ и $ \angle OBC $, равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.