Номер 808, страница 212 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 808, страница 212.

808 Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями a и b.

Рассмотрим прямоугольную трапецию с основаниями $a$ и $b$, в которую вписана окружность радиуса $r$. Пусть $h$ — высота трапеции, которая в данном случае является одной из её боковых сторон (перпендикулярной основаниям). Вторую, наклонную, боковую сторону обозначим как $c$.

Поскольку в трапецию можно вписать окружность, её высота равна диаметру этой окружности. Таким образом, получаем первое соотношение: $h = 2r$.

Также для любого описанного четырёхугольника (в который можно вписать окружность) справедливо свойство равенства сумм длин противоположных сторон. Для нашей трапеции это свойство записывается так: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. $a + b = h + c$ Подставив $h = 2r$ в это равенство, получим: $a + b = 2r + c$ Из этого уравнения можно выразить длину наклонной стороны $c$: $c = a + b - 2r$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется, если из вершины меньшего основания провести высоту к большему основанию. Катетами этого треугольника будут высота трапеции $h$ и отрезок, равный разности длин оснований $(a - b)$ (предполагая, что $a > b$). Гипотенузой будет наклонная сторона $c$. По теореме Пифагора имеем: $c^2 = h^2 + (a - b)^2$

Подставим в теорему Пифагора ранее найденные выражения для $c$ и $h$: $(a + b - 2r)^2 = (2r)^2 + (a - b)^2$

Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 - 2 \cdot (a+b) \cdot 2r + (2r)^2 = 4r^2 + (a-b)^2$ $a^2 + 2ab + b^2 - 4r(a+b) + 4r^2 = 4r^2 + a^2 - 2ab + b^2$

Сократим одинаковые слагаемые ($a^2$, $b^2$, $4r^2$) в обеих частях равенства: $2ab - 4r(a+b) = -2ab$

Теперь решим полученное уравнение относительно $r$: $2ab + 2ab = 4r(a+b)$ $4ab = 4r(a+b)$ $ab = r(a+b)$

И, наконец, находим искомый радиус: $r = \frac{ab}{a+b}$

Ответ: $r = \frac{ab}{a+b}$