Номер 812, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Дополнительные задачи - номер 812, страница 213.

Условие.

812 Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 11.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). Пусть биссектрисы углов $A$, $B$, $C$, $D$ пересекаются и образуют выпуклый четырёхугольник $PQRS$. Обозначим точки пересечения биссектрис следующим образом:

• $P$ — точка пересечения биссектрис углов $A$ и $B$.
• $Q$ — точка пересечения биссектрис углов $B$ и $C$.
• $R$ — точка пересечения биссектрис углов $C$ и $D$.
• $S$ — точка пересечения биссектрис углов $D$ и $A$.

Нужно доказать, что около четырёхугольника $PQRS$ можно описать окружность. Для этого достаточно доказать, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Например, докажем, что $\angle SPQ + \angle SRQ = 180^\circ$ или $\angle PQR + \angle PSR = 180^\circ$.

Доказательство:

Рассмотрим углы, образованные биссектрисами углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции.

1. Рассмотрим треугольник $APB$, образованный боковой стороной $AB$ и биссектрисами $AP$ и $BP$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA)$

Так как $AP$ и $BP$ — биссектрисы, то $\angle PAB = \frac{1}{2}\angle DAB$ и $\angle PBA = \frac{1}{2}\angle CBA$.
Следовательно, $\angle APB = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle DAB + \angle CBA)$.

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Для стороны $AB$ имеем: $\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$.
Подставим это значение в формулу для угла $\angle APB$:
$\angle APB = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Угол $\angle SPQ$ нашего четырёхугольника является вертикальным углу $\angle APB$, поэтому $\angle SPQ = \angle APB = 90^\circ$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $CRD$, образованный боковой стороной $CD$ и биссектрисами $CR$ и $DR$.
$\angle CRD = 180^\circ - (\angle RCD + \angle RDC) = 180^\circ - \frac{1}{2}(\angle BCD + \angle ADC)$

Для боковой стороны $CD$ также выполняется свойство трапеции: $\angle BCD + \angle ADC = 180^\circ$.
Тогда:
$\angle CRD = 180^\circ - \frac{1}{2}(180^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Угол $\angle SRQ$ нашего четырёхугольника является вертикальным углу $\angle CRD$, поэтому $\angle SRQ = \angle CRD = 90^\circ$.

3. Теперь найдём сумму противоположных углов четырёхугольника $PQRS$:
$\angle SPQ + \angle SRQ = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Поскольку сумма противоположных углов в выпуклом четырёхугольнике $PQRS$ равна $180^\circ$, то по признаку вписанного четырёхугольника около него можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма двух противоположных углов четырёхугольника, образованного пересечением биссектрис углов трапеции, всегда равна $180^\circ$, что является достаточным условием для того, чтобы около этого четырёхугольника можно было описать окружность.