Номер 817, страница 213 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Вписанная и описанная окружности четырёхугольников. Глава 9. Окружность - номер 817, страница 213.

817 Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и точка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А.

Для решения задачи необходимо найти центр и радиус искомой окружности. Пусть O — центр окружности, а R — её радиус.

Анализ

Исходя из условий задачи, можно определить геометрическое место точек, которому должен принадлежать центр окружности O.

1. Окружность касается прямой a в точке A. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус OA перпендикулярен прямой a. Это означает, что центр O должен лежать на прямой p, проходящей через точку A перпендикулярно прямой a.

2. Окружность проходит через точки A и B. Это значит, что центр окружности O равноудален от точек A и B, то есть $OA = OB$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, центр O должен лежать на серединном перпендикуляре m к отрезку AB.

Таким образом, центр искомой окружности O — это точка пересечения двух прямых: прямой p (перпендикуляра к a в точке A) и прямой m (серединного перпендикуляра к отрезку AB).

Построение

Алгоритм построения искомой окружности следующий:

1. Через точку A проводим прямую p, перпендикулярную прямой a.

2. Соединяем точки A и B отрезком.

3. Строим серединный перпендикуляр m к отрезку AB.

4. Находим точку пересечения прямых p и m. Обозначаем эту точку O. Это и есть центр искомой окружности.

5. Проводим окружность с центром в точке O и радиусом $R = OA$.

Доказательство

Построенная окружность является искомой, так как она удовлетворяет всем условиям задачи.

Во-первых, она проходит через точку B. Это следует из того, что центр O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB, а значит, расстояния от него до точек A и B равны: $OA = OB$. Поскольку радиус окружности равен OA, то и точка B лежит на этой окружности.

Во-вторых, она касается прямой a в точке A. Это следует из того, что центр O лежит на прямой p, которая перпендикулярна прямой a и проходит через точку A. Таким образом, радиус OA перпендикулярен прямой a, что является условием касания.

Так как прямые p и m не могут быть параллельны (если бы они были параллельны, то прямая AB была бы перпендикулярна прямой p, что означало бы, что B лежит на прямой a, а это противоречит условию), они пересекаются в единственной точке. Следовательно, задача всегда имеет единственное решение.

Ответ: Искомая окружность имеет центр в точке пересечения перпендикуляра к прямой a в точке A и серединного перпендикуляра к отрезку AB. Радиус окружности равен расстоянию от найденного центра до точки A.