Номер 824, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 824, страница 214.

824 Дан выпуклый шестиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆, все углы которого равны. Докажите, что

А₁А₂ − A₄A₅ = A₅A₆ − A₂A₃ = A₃A₄ − A₆A₁.

Пусть дан выпуклый шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, все углы которого равны. Сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника равна $(6-2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$. Поскольку все шесть углов равны, каждый из них равен $720^\circ / 6 = 120^\circ$.

Свойство шестиугольника с равными углами заключается в том, что его противолежащие стороны попарно параллельны ($A_1A_2 \parallel A_4A_5$, $A_2A_3 \parallel A_5A_6$, $A_3A_4 \parallel A_6A_1$). Также такой шестиугольник можно получить, отрезав от углов некоторого равностороннего треугольника $T$ три меньших равносторонних треугольника.

Пусть большой равносторонний треугольник, из которого "вырезан" шестиугольник, имеет вершины $P, Q, R$. Пусть от его углов отрезаны равносторонние треугольники $\triangle PA_1A_2$, $\triangle QA_3A_4$ и $\triangle RA_5A_6$. Вершины шестиугольника лежат на сторонах большого треугольника таким образом, что сторона $PQ$ составлена из отрезков $PA_2$, $A_2A_3$ и $A_3Q$; сторона $QR$ — из отрезков $QA_4$, $A_4A_5$ и $A_5R$; сторона $RP$ — из отрезков $RA_6$, $A_6A_1$ и $A_1P$.

Так как треугольники $\triangle PA_1A_2$, $\triangle QA_3A_4$ и $\triangle RA_5A_6$ равносторонние, длины их сторон равны. Обозначим длины сторон шестиугольника как $|A_iA_{i+1}|$ (считая $A_7 = A_1$). Тогда:

• $|PA_1| = |PA_2| = |A_1A_2|$
• $|QA_3| = |QA_4| = |A_3A_4|$
• $|RA_5| = |RA_6| = |A_5A_6|$

Теперь выразим длины сторон большого равностороннего треугольника $T$ через длины сторон шестиугольника:

• $|PQ| = |PA_2| + |A_2A_3| + |A_3Q| = |A_1A_2| + |A_2A_3| + |A_3A_4|$
• $|QR| = |QA_4| + |A_4A_5| + |A_5R| = |A_3A_4| + |A_4A_5| + |A_5A_6|$
• $|RP| = |RA_6| + |A_6A_1| + |A_1P| = |A_5A_6| + |A_6A_1| + |A_1A_2|$

Поскольку треугольник $T$ является равносторонним, его стороны равны: $|PQ| = |QR| = |RP|$. Приравняем выражения для длин сторон:
1) $|PQ| = |QR|$
$|A_1A_2| + |A_2A_3| + |A_3A_4| = |A_3A_4| + |A_4A_5| + |A_5A_6|$
$|A_1A_2| + |A_2A_3| = |A_4A_5| + |A_5A_6|$
Перегруппировав члены, получаем: $|A_5A_6| - |A_2A_3| = |A_1A_2| - |A_4A_5|$.

2) $|QR| = |RP|$
$|A_3A_4| + |A_4A_5| + |A_5A_6| = |A_5A_6| + |A_6A_1| + |A_1A_2|$
$|A_3A_4| + |A_4A_5| = |A_6A_1| + |A_1A_2|$
Перегруппировав члены, получаем: $|A_3A_4| - |A_6A_1| = |A_1A_2| - |A_4A_5|$.

Из этих двух равенств следует, что все три разности равны между собой:
$|A_1A_2| - |A_4A_5| = |A_3A_4| - |A_6A_1| = |A_5A_6| - |A_2A_3|$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что для выпуклого шестиугольника с равными углами выполняется равенство $A_1A_2 - A_4A_5 = A_3A_4 - A_6A_1 = A_5A_6 - A_2A_3$.