Номер 824, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 824, страница 214.
№824 (с. 214)
Условие. №824 (с. 214)

824 Дан выпуклый шестиугольник A₁A₂A₃A₄A₅A₆, все углы которого равны. Докажите, что
Решение 2. №824 (с. 214)

Решение 3. №824 (с. 214)

Решение 4. №824 (с. 214)

Решение 6. №824 (с. 214)


Решение 11. №824 (с. 214)
Пусть дан выпуклый шестиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, все углы которого равны. Сумма внутренних углов выпуклого шестиугольника равна $(6-2) \cdot 180^\circ = 720^\circ$. Поскольку все шесть углов равны, каждый из них равен $720^\circ / 6 = 120^\circ$.
Свойство шестиугольника с равными углами заключается в том, что его противолежащие стороны попарно параллельны ($A_1A_2 \parallel A_4A_5$, $A_2A_3 \parallel A_5A_6$, $A_3A_4 \parallel A_6A_1$). Также такой шестиугольник можно получить, отрезав от углов некоторого равностороннего треугольника $T$ три меньших равносторонних треугольника.
Пусть большой равносторонний треугольник, из которого "вырезан" шестиугольник, имеет вершины $P, Q, R$. Пусть от его углов отрезаны равносторонние треугольники $\triangle PA_1A_2$, $\triangle QA_3A_4$ и $\triangle RA_5A_6$. Вершины шестиугольника лежат на сторонах большого треугольника таким образом, что сторона $PQ$ составлена из отрезков $PA_2$, $A_2A_3$ и $A_3Q$; сторона $QR$ — из отрезков $QA_4$, $A_4A_5$ и $A_5R$; сторона $RP$ — из отрезков $RA_6$, $A_6A_1$ и $A_1P$.
Так как треугольники $\triangle PA_1A_2$, $\triangle QA_3A_4$ и $\triangle RA_5A_6$ равносторонние, длины их сторон равны. Обозначим длины сторон шестиугольника как $|A_iA_{i+1}|$ (считая $A_7 = A_1$). Тогда:
- $|PA_1| = |PA_2| = |A_1A_2|$
- $|QA_3| = |QA_4| = |A_3A_4|$
- $|RA_5| = |RA_6| = |A_5A_6|$
Теперь выразим длины сторон большого равностороннего треугольника $T$ через длины сторон шестиугольника:
- $|PQ| = |PA_2| + |A_2A_3| + |A_3Q| = |A_1A_2| + |A_2A_3| + |A_3A_4|$
- $|QR| = |QA_4| + |A_4A_5| + |A_5R| = |A_3A_4| + |A_4A_5| + |A_5A_6|$
- $|RP| = |RA_6| + |A_6A_1| + |A_1P| = |A_5A_6| + |A_6A_1| + |A_1A_2|$
Поскольку треугольник $T$ является равносторонним, его стороны равны: $|PQ| = |QR| = |RP|$. Приравняем выражения для длин сторон:
1) $|PQ| = |QR|$
$|A_1A_2| + |A_2A_3| + |A_3A_4| = |A_3A_4| + |A_4A_5| + |A_5A_6|$
$|A_1A_2| + |A_2A_3| = |A_4A_5| + |A_5A_6|$
Перегруппировав члены, получаем: $|A_5A_6| - |A_2A_3| = |A_1A_2| - |A_4A_5|$.
2) $|QR| = |RP|$
$|A_3A_4| + |A_4A_5| + |A_5A_6| = |A_5A_6| + |A_6A_1| + |A_1A_2|$
$|A_3A_4| + |A_4A_5| = |A_6A_1| + |A_1A_2|$
Перегруппировав члены, получаем: $|A_3A_4| - |A_6A_1| = |A_1A_2| - |A_4A_5|$.
Из этих двух равенств следует, что все три разности равны между собой:
$|A_1A_2| - |A_4A_5| = |A_3A_4| - |A_6A_1| = |A_5A_6| - |A_2A_3|$.
Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что для выпуклого шестиугольника с равными углами выполняется равенство $A_1A_2 - A_4A_5 = A_3A_4 - A_6A_1 = A_5A_6 - A_2A_3$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 824 расположенного на странице 214 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №824 (с. 214), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.