Номер 831, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 831, страница 214.

831 Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

Дано:
Пусть $ABCD$ — выпуклый четырёхугольник. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Диагонали разбивают четырёхугольник на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$. Периметры этих треугольников равны. Обозначим длины сторон четырёхугольника: $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$. Обозначим длины отрезков диагоналей: $AO=x$, $BO=y$, $CO=z$, $DO=w$. Тогда периметры треугольников равны:

• $P_{\triangle AOB} = a + x + y$
• $P_{\triangle BOC} = b + y + z$
• $P_{\triangle COD} = c + z + w$
• $P_{\triangle DOA} = d + w + x$

По условию, $P_{\triangle AOB} = P_{\triangle BOC} = P_{\triangle COD} = P_{\triangle DOA}$.

Доказать:
Четырёхугольник $ABCD$ является ромбом.

Доказательство:
Из равенства периметров составим систему уравнений:

1. $a + x + y = b + y + z \implies a + x = b + z$
2. $b + y + z = c + z + w \implies b + y = c + w$
3. $c + z + w = d + w + x \implies c + z = d + x$
4. $d + w + x = a + x + y \implies d + w = a + y$

Рассмотрим пары уравнений. Сложим уравнения (1) и (3): $(a + x) + (c + z) = (b + z) + (d + x)$ $a + c + x + z = b + d + x + z$ $a + c = b + d$ Это означает, что суммы длин противоположных сторон четырёхугольника равны.

Теперь сложим уравнения (2) и (4): $(b + y) + (d + w) = (c + w) + (a + y)$ $b + d + y + w = a + c + y + w$ $b + d = a + c$ Это то же самое свойство.

Давайте используем другую комбинацию. Выразим из уравнений (2) и (4) разности длин сторон: Из (2): $b - c = w - y$ Из (4): $d - a = y - w = -(w - y)$ Следовательно, $b - c = -(d - a)$, что даёт $b - c = a - d$, или $a+c = b+d$.

Теперь вычтем уравнение (4) из (2): $(b+y) - (d+w) = (c+w) - (a+y)$ $b-d+y-w = c-a+w-y$ $b-d+c-a = -2y+2w = 2(w-y)$ Так как $a+c=b+d$, то $b-d+c-a=0$. Значит $2(w-y)=0$, что влечет $w=y$. Этот результат можно получить проще. Рассмотрим систему: $a + c = b + d$ $a - d = w - y$ (из уравнения (4), переписанного как $a+y=d+w$) $b - c = w - y$ (из уравнения (2)) Отсюда $a-d = b-c$, что преобразуется в $a+c=b+d$.

Рассмотрим равенства $a+c=b+d$ и $a-c = d-b$ (получено из `a-d = -(c-b)`). Рассмотрим равенство `a+y=d+w` и `b+y=c+w`. Вычитая одно из другого, получаем `a-b = d-c`, или `a+c=b+d`.

Вернёмся к системе из четырёх уравнений. Из (1) и (3) следует: $a+c = b+d$. Из (2) и (4) следует: $b+d = a+c$. Из (1) $a-b = z-x$. Из (3) $c-d = x-z$. Следовательно, $a-b = -(c-d)$, откуда $a+d=b+c$. Из (2) $b-c = w-y$. Из (4) $d-a = y-w$. Следовательно, $b-c = -(d-a)$, откуда $b+a=c+d$.

Итак, мы получили два ключевых соотношения для длин сторон:

1. $a + c = b + d$
2. $a + b = c + d$

Вычтем второе уравнение из первого: $(a + c) - (a + b) = (b + d) - (c + d)$ $c - b = b - c$ $2c = 2b \implies c = b$.

Подставим $c = b$ в любое из двух уравнений, например, в первое: $a + b = b + d \implies a = d$.

Мы доказали, что $a=d$ и $b=c$. Это означает, что в четырёхугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно равны ($AB=DA$ и $BC=CD$). Такой четырёхугольник является дельтоидом (кайтом), у которого диагональ $AC$ является осью симметрии.

Для дельтоида диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$), и одна из диагоналей (в данном случае $BD$) делится точкой пересечения пополам. То есть, $y = w$ ($BO = DO$).

Теперь нам осталось доказать, что дельтоид является ромбом, то есть $a=b$. Воспользуемся равенством (1): $a + x = b + z$. Так как диагонали перпендикулярны, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $O$). По теореме Пифагора: $a^2 = x^2 + y^2 \implies a = \sqrt{x^2 + y^2}$ $b^2 = z^2 + y^2 \implies b = \sqrt{z^2 + y^2}$

Подставим эти выражения в уравнение $a + x = b + z$: $\sqrt{x^2 + y^2} + x = \sqrt{z^2 + y^2} + z$

Рассмотрим функцию $f(t) = \sqrt{t^2 + k} + t$, где $k = y^2$ - положительная константа. Найдём её производную: $f'(t) = \frac{2t}{2\sqrt{t^2 + k}} + 1 = \frac{t}{\sqrt{t^2 + k}} + 1$. Поскольку $\sqrt{t^2+k} > \sqrt{t^2} = |t|$, то значение дроби $\frac{t}{\sqrt{t^2 + k}}$ всегда находится в интервале $(-1, 1)$. Следовательно, $f'(t) > 0$ для всех $t$. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей.

Из равенства $f(x) = f(z)$ для строго возрастающей функции следует, что $x=z$.

Если $x=z$, то подставив это в уравнение (1) $a+x=b+z$, получим $a=b$.

Итак, мы получили, что все стороны четырёхугольника равны: $a = d$ (доказано ранее) $b = c$ (доказано ранее) $a = b$ (только что доказано) Следовательно, $a=b=c=d$.

Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.