Номер 838, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 838, страница 215.

838 Внутри квадрата ABCD взята такая точка М, что ∠MAB = 60°, ∠MCD = 15°. Найдите ∠MBC.

Решение:

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$.

Построим внутри квадрата точку $K$ так, чтобы треугольник $AKB$ был равносторонним. В этом случае все его стороны равны стороне квадрата $AB$, и все углы равны $60^{\circ}$.

$AK = KB = AB = a$.

Угол $\angle KAB = 60^{\circ}$. Это совпадает с первым условием из задачи для точки $M$: $\angle MAB = 60^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $KBC$. Мы знаем, что $KB = a$ (из построения) и $BC = a$ (как сторона квадрата). Следовательно, треугольник $KBC$ является равнобедренным с основанием $KC$.

Найдем угол при вершине $\angle KBC$. Угол $\angle ABC$ квадрата равен $90^{\circ}$. Угол $\angle ABK$ равностороннего треугольника равен $60^{\circ}$. Тогда:

$\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Найдем углы при основании равнобедренного треугольника $KBC$:

$\angle BKC = \angle BCK = (180^{\circ} - \angle KBC) / 2 = (180^{\circ} - 30^{\circ}) / 2 = 150^{\circ} / 2 = 75^{\circ}$.

Теперь проверим, выполняется ли для точки $K$ второе условие задачи. Найдем угол $\angle KCD$. Угол $\angle BCD$ квадрата равен $90^{\circ}$. Тогда:

$\angle KCD = \angle BCD - \angle BCK = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}$.

Это совпадает со вторым условием для точки $M$: $\angle MCD = 15^{\circ}$.

Таким образом, построенная нами точка $K$ полностью удовлетворяет обоим условиям, заданным для точки $M$. Поскольку положение точки $M$ внутри квадрата однозначно определяется этими двумя условиями (как точка пересечения луча из $A$ под углом $60^{\circ}$ к $AB$ и луча из $C$ под углом $15^{\circ}$ к $CD$), то точки $M$ и $K$ совпадают.

Следовательно, искомый угол $\angle MBC$ равен углу $\angle KBC$, который мы уже вычислили.

$\angle MBC = \angle KBC = 30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$.