Номер 832, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 832, страница 214.

832 Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.

Пусть дана точка $P$ и прямая $l$, причем точка $P$ не лежит на прямой $l$. Пусть $A$ — произвольная точка на прямой $l$. Мы ищем множество всех точек $M$, являющихся серединами отрезков $PA$.

Рассмотрим преобразование плоскости, которое каждой точке $A$ ставит в соответствие точку $M$ — середину отрезка $PA$.

По определению середины отрезка, точка $M$ лежит на отрезке $PA$ так, что $PM = MA$. Это означает, что вектор, идущий из точки $P$ в точку $M$, вдвое короче вектора, идущего из $P$ в $A$, и сонаправлен с ним: $\vec{PM} = \frac{1}{2}\vec{PA}$.

Такое преобразование, при котором каждая точка $A$ переходит в точку $M$ по правилу $\vec{PM} = k \cdot \vec{PA}$, где $P$ — фиксированная точка (центр), а $k$ — постоянное число (коэффициент), называется гомотетией с центром $P$ и коэффициентом $k$. В нашей задаче мы имеем дело с гомотетией с центром в точке $P$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.

Важным свойством гомотетии является то, что она преобразует любую прямую в параллельную ей прямую (при условии, что центр гомотетии не лежит на исходной прямой, что выполняется по условию задачи).

Поскольку множество всех точек $A$ образует прямую $l$, то искомое множество всех точек $M$ является образом прямой $l$ при данной гомотетии. Следовательно, это множество также является прямой, назовем ее $m$, причем $m \parallel l$.

Чтобы точно определить положение этой новой прямой $m$, достаточно найти образ одной любой точки с прямой $l$. Проведем из точки $P$ перпендикуляр $PH$ к прямой $l$ (где $H$ — основание перпендикуляра на прямой $l$). Точка $H$ принадлежит прямой $l$, и ее образом при нашей гомотетии будет точка $K$ — середина отрезка $PH$.

Таким образом, искомая прямая $m$ должна проходить через точку $K$ и быть параллельной прямой $l$. Такая прямая единственна. Она находится между точкой $P$ и прямой $l$. Расстояние от прямой $m$ до прямой $l$ равно расстоянию от прямой $m$ до точки $P$, и каждое из этих расстояний равно половине расстояния от точки $P$ до прямой $l$.

Ответ: Искомое множество точек — это прямая, параллельная данной прямой и проходящая через середину перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Иными словами, это прямая, параллельная данной и находящаяся на полпути между данной точкой и данной прямой.