Номер 832, страница 214 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 6 - номер 832, страница 214.

Условие.

832 Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих данную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей через эту точку.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 11.

Пусть дана точка $P$ и прямая $l$, причем точка $P$ не лежит на прямой $l$. Пусть $A$ — произвольная точка на прямой $l$. Мы ищем множество всех точек $M$, являющихся серединами отрезков $PA$.

Рассмотрим преобразование плоскости, которое каждой точке $A$ ставит в соответствие точку $M$ — середину отрезка $PA$.

По определению середины отрезка, точка $M$ лежит на отрезке $PA$ так, что $PM = MA$. Это означает, что вектор, идущий из точки $P$ в точку $M$, вдвое короче вектора, идущего из $P$ в $A$, и сонаправлен с ним: $\vec{PM} = \frac{1}{2}\vec{PA}$.

Такое преобразование, при котором каждая точка $A$ переходит в точку $M$ по правилу $\vec{PM} = k \cdot \vec{PA}$, где $P$ — фиксированная точка (центр), а $k$ — постоянное число (коэффициент), называется гомотетией с центром $P$ и коэффициентом $k$. В нашей задаче мы имеем дело с гомотетией с центром в точке $P$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.

Важным свойством гомотетии является то, что она преобразует любую прямую в параллельную ей прямую (при условии, что центр гомотетии не лежит на исходной прямой, что выполняется по условию задачи).

Поскольку множество всех точек $A$ образует прямую $l$, то искомое множество всех точек $M$ является образом прямой $l$ при данной гомотетии. Следовательно, это множество также является прямой, назовем ее $m$, причем $m \parallel l$.

Чтобы точно определить положение этой новой прямой $m$, достаточно найти образ одной любой точки с прямой $l$. Проведем из точки $P$ перпендикуляр $PH$ к прямой $l$ (где $H$ — основание перпендикуляра на прямой $l$). Точка $H$ принадлежит прямой $l$, и ее образом при нашей гомотетии будет точка $K$ — середина отрезка $PH$.

Таким образом, искомая прямая $m$ должна проходить через точку $K$ и быть параллельной прямой $l$. Такая прямая единственна. Она находится между точкой $P$ и прямой $l$. Расстояние от прямой $m$ до прямой $l$ равно расстоянию от прямой $m$ до точки $P$, и каждое из этих расстояний равно половине расстояния от точки $P$ до прямой $l$.

Ответ: Искомое множество точек — это прямая, параллельная данной прямой и проходящая через середину перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Иными словами, это прямая, параллельная данной и находящаяся на полпути между данной точкой и данной прямой.