Номер 836, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 836, страница 215.

836 На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка М. Биссектриса угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке K. Докажите, что AM = ВK + DM.

Доказательство

1. Выполним дополнительное построение. На луче, продолжающем сторону $BC$ за точку $B$, отметим точку $E$ так, что $BE = DM$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle ABE$.
- $AD = AB$ как стороны квадрата $ABCD$.
- $DM = BE$ по построению.
- $\angle ADM = 90^\circ$. Угол $\angle ABC = 90^\circ$, а угол $\angle ABE$ является смежным с углом, который является частью прямого угла, поэтому $\angle ABE = 90^\circ$.
Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle ABE$ равны по двум катетам.

3. Из равенства треугольников $\triangle ADM \cong \triangle ABE$ следует равенство их гипотенуз $AM = AE$ и соответствующих острых углов $\angle DAM = \angle BAE$.

4. Цель доказательства — установить равенство $AM = BK + DM$.
Используя результаты шагов 1 и 3, мы можем переписать это равенство как $AE = BK + BE$.
Поскольку точки $E$, $B$ и $K$ лежат на одной прямой в указанном порядке, сумма отрезков $BK + BE$ равна длине отрезка $EK$.
Таким образом, задача сводится к доказательству равенства $AE = EK$.

5. Равенство $AE = EK$ будет выполняться, если треугольник $\triangle AKE$ является равнобедренным. Докажем это, показав равенство углов при его основании $AK$, то есть $\angle EAK = \angle AKE$.

6. Выразим эти углы.
Угол $\angle EAK$ является суммой углов $\angle BAE$ и $\angle BAK$. Так как $\angle BAE = \angle DAM$, получаем: $\angle EAK = \angle DAM + \angle BAK$.
Угол $\angle AKE$ совпадает с углом $\angle AKB$, так как точки $E, B, K$ лежат на одной прямой. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABK$ (с прямым углом при вершине $B$) имеем: $\angle AKB = 90^\circ - \angle BAK$. Следовательно, $\angle AKE = 90^\circ - \angle BAK$.

7. Теперь докажем, что $\angle EAK = \angle AKE$. Для этого нужно проверить истинность равенства:
$\angle DAM + \angle BAK = 90^\circ - \angle BAK$
Перенеся $\angle BAK$ из правой части в левую, получим:
$\angle DAM + 2\angle BAK = 90^\circ$
По условию $AK$ является биссектрисой угла $\angle BAM$, поэтому $2\angle BAK = \angle BAM$.
Подставив это, получим: $\angle DAM + \angle BAM = 90^\circ$.
Это равенство верно, так как $\angle DAM$ и $\angle BAM$ в сумме составляют угол квадрата $\angle DAB$, который равен $90^\circ$.

8. Итак, мы доказали, что $\angle EAK = \angle AKE$. Это означает, что треугольник $\triangle AKE$ — равнобедренный с основанием $AK$, и, следовательно, $AE = EK$.
Вспомним наши соотношения: $EK = EB + BK$ и $EB = DM$ (по построению).
Подставляя, получаем $EK = DM + BK$.
Так как $AE = EK$, то $AE = DM + BK$.
Наконец, из равенства треугольников мы знаем, что $AM = AE$.
Следовательно, $AM = BK + DM$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM = BK + DM$ доказано.