Номер 835, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 835, страница 215.

835 На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов являются вершинами квадрата.

Для доказательства воспользуемся методом комплексных чисел. Пусть вершины параллелограмма $ABCD$, перечисленные в порядке обхода против часовой стрелки, соответствуют комплексным числам $a, b, c, d$ на комплексной плоскости. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его диагонали пересекаются в одной точке, и эта точка является их серединой. Это свойство в комплексных числах выражается равенством: $a+c = b+d$.

Пусть на сторонах $AB, BC, CD, DA$ вне параллелограмма построены квадраты. Обозначим центры этих квадратов (точки пересечения их диагоналей) как $O_1, O_2, O_3, O_4$ соответственно. Комплексные числа, соответствующие этим центрам, обозначим как $o_1, o_2, o_3, o_4$.

Найдем комплексное число, соответствующее центру квадрата, построенного на стороне, заданной отрезком между точками $z_1$ и $z_2$. Середина отрезка $z_1z_2$ — это точка $\frac{z_1+z_2}{2}$. Вектор, идущий из середины стороны квадрата к его центру, перпендикулярен стороне и равен по длине половине стороны. Вектор стороны — это $z_2-z_1$. Внешний перпендикулярный вектор можно получить, умножив вектор стороны на $-i$ (поворот на $90^\circ$ по часовой стрелке) и разделив на 2. Таким образом, центр квадрата $o$ находится по формуле:$o = \frac{z_1+z_2}{2} - \frac{i(z_2-z_1)}{2} = \frac{z_1(1+i) + z_2(1-i)}{2}$

Применяя эту формулу к сторонам нашего параллелограмма, получаем координаты центров:

• Для квадрата на стороне $AB$: $o_1 = \frac{a(1+i) + b(1-i)}{2}$
• Для квадрата на стороне $BC$: $o_2 = \frac{b(1+i) + c(1-i)}{2}$
• Для квадрата на стороне $CD$: $o_3 = \frac{c(1+i) + d(1-i)}{2}$
• Для квадрата на стороне $DA$: $o_4 = \frac{d(1+i) + a(1-i)}{2}$

Чтобы доказать, что четырехугольник $O_1O_2O_3O_4$ является квадратом, нам нужно показать, что он является параллелограммом, у которого смежные стороны равны и перпендикулярны.

1. Докажем, что $O_1O_2O_3O_4$ — параллелограмм.

Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются в середине. На комплексной плоскости это эквивалентно условию $o_1+o_3 = o_2+o_4$. Проверим это равенство.

$o_1+o_3 = \frac{a(1+i) + b(1-i)}{2} + \frac{c(1+i) + d(1-i)}{2} = \frac{(a+c)(1+i) + (b+d)(1-i)}{2}$

$o_2+o_4 = \frac{b(1+i) + c(1-i)}{2} + \frac{d(1+i) + a(1-i)}{2} = \frac{(b+d)(1+i) + (a+c)(1-i)}{2}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $a+c = b+d$. Обозначим эту сумму $S$. Тогда:

$o_1+o_3 = \frac{S(1+i) + S(1-i)}{2} = \frac{S(1+i+1-i)}{2} = \frac{2S}{2} = S$

$o_2+o_4 = \frac{S(1+i) + S(1-i)}{2} = \frac{S(1+i+1-i)}{2} = \frac{2S}{2} = S$

Поскольку $o_1+o_3 = o_2+o_4$, диагонали четырехугольника $O_1O_2O_3O_4$ пересекаются в середине, следовательно, $O_1O_2O_3O_4$ — параллелограмм.

2. Докажем, что смежные стороны $O_1O_2$ и $O_2O_3$ равны и перпендикулярны.

Это условие на комплексной плоскости можно записать как $o_3-o_2 = i(o_2-o_1)$ (или $-i$, в зависимости от ориентации). Это означает, что вектор $O_2O_3$ получается из вектора $O_1O_2$ поворотом на $90^\circ$ против часовой стрелки. Из этого следует и равенство длин, и перпендикулярность.

Найдем векторы $o_2-o_1$ и $o_3-o_2$:

$o_2-o_1 = \frac{b(1+i)+c(1-i)}{2} - \frac{a(1+i)+b(1-i)}{2} = \frac{-a(1+i) + b((1+i)-(1-i)) + c(1-i)}{2} = \frac{-a(1+i) + 2ib + c(1-i)}{2}$

$o_3-o_2 = \frac{c(1+i)+d(1-i)}{2} - \frac{b(1+i)+c(1-i)}{2} = \frac{-b(1+i) + c((1+i)-(1-i)) + d(1-i)}{2} = \frac{-b(1+i) + 2ic + d(1-i)}{2}$

Теперь умножим $o_2-o_1$ на $i$:

$i(o_2-o_1) = i \cdot \frac{-a(1+i) + 2ib + c(1-i)}{2} = \frac{-a(i-1) -2b + c(i+1)}{2} = \frac{a(1-i) - 2b + c(1+i)}{2}$

Теперь преобразуем выражение для $o_3-o_2$, используя свойство параллелограмма $d=a+c-b$:

$o_3-o_2 = \frac{-b(1+i) + 2ic + (a+c-b)(1-i)}{2} = \frac{-b-ib+2ic+a-ia+c-ic-b+ib}{2} = \frac{a(1-i) -2b + c(1+i)}{2}$

Сравнивая два полученных выражения, видим, что $o_3-o_2 = i(o_2-o_1)$.

Это доказывает, что $|o_3-o_2| = |i(o_2-o_1)| = |i| \cdot |o_2-o_1| = |o_2-o_1|$, то есть длины сторон $O_1O_2$ и $O_2O_3$ равны. Также это означает, что вектор $O_2O_3$ перпендикулярен вектору $O_1O_2$.

Итак, мы доказали, что $O_1O_2O_3O_4$ — это параллелограмм, у которого есть прямой угол (значит, это прямоугольник) и у которого смежные стороны равны (значит, это квадрат).

Ответ: Утверждение доказано. Точки пересечения диагоналей квадратов, построенных на сторонах параллелограмма, являются вершинами квадрата.