Номер 837, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 6. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 837, страница 215.

837 На рисунке 274 изображены три квадрата. Найдите сумму ∠BAE+∠CAE+∠DAE.

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина A совпадает с началом координат (0,0), а нижнее основание фигуры, отрезок AE, лежит на оси Ox. Так как фигура состоит из трех одинаковых квадратов, обозначим длину стороны каждого квадрата как $a$.

В этой системе координат вершины B, C и D будут иметь следующие координаты:

• Вершина B является правым верхним углом первого квадрата, поэтому ее координаты $B(a, a)$.
• Вершина C является правым верхним углом прямоугольника размером $2a \times a$, состоящего из первых двух квадратов, поэтому ее координаты $C(2a, a)$.
• Вершина D является правым верхним углом всей фигуры (прямоугольника $3a \times a$), поэтому ее координаты $D(3a, a)$.

Нижняя правая вершина E будет иметь координаты $E(3a, 0)$. Ось Ox совпадает с прямой AE.

Теперь найдем величины каждого из углов: $\angle BAE$, $\angle CAE$ и $\angle DAE$. Для этого воспользуемся тангенсами этих углов в соответствующих прямоугольных треугольниках.

1. Угол $\angle BAE$:Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками A(0,0), B(a,a) и проекцией B на ось Ox, точкой F(a,0). В треугольнике $\triangle ABF$ катеты равны: $AF = a$ и $BF = a$.Тангенс угла $\angle BAE$ (который равен $\angle BAF$) равен отношению противолежащего катета к прилежащему:$\tan(\angle BAE) = \frac{BF}{AF} = \frac{a}{a} = 1$Поскольку $\angle BAE$ — острый угол, его величина равна $45^\circ$.

2. Угол $\angle CAE$:Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками A(0,0), C(2a,a) и проекцией C на ось Ox, точкой G(2a,0). В треугольнике $\triangle ACG$:$\tan(\angle CAE) = \frac{CG}{AG} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$

3. Угол $\angle DAE$:Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками A(0,0), D(3a,a) и E(3a,0). В треугольнике $\triangle ADE$:$\tan(\angle DAE) = \frac{DE}{AE} = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3}$

Теперь нам нужно найти сумму этих трех углов: $S = \angle BAE + \angle CAE + \angle DAE$.Мы уже знаем, что $\angle BAE = 45^\circ$. Найдем сумму двух других углов, $\angle CAE + \angle DAE$, используя формулу тангенса суммы двух углов:$\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$

$\tan(\angle CAE + \angle DAE) = \frac{\tan(\angle CAE) + \tan(\angle DAE)}{1 - \tan(\angle CAE) \cdot \tan(\angle DAE)} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$

Так как $\angle CAE$ и $\angle DAE$ являются острыми углами, их сумма также является острым углом (меньше $90^\circ$). Единственный острый угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.Следовательно, $\angle CAE + \angle DAE = 45^\circ$.

Теперь мы можем вычислить искомую сумму:$\angle BAE + \angle CAE + \angle DAE = \angle BAE + (\angle CAE + \angle DAE) = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.