Номер 844, страница 215 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 7. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 844, страница 215.

844 На сторонах АС и ВС треугольника ABC взяты точки М и K, а на отрезке МK — точка Р так, что AMMC = CKKB = MPPK. Найдите площадь треугольника ABC, если площади треугольников AMP и ВKР равны S₁ и S₂.

Обозначим данное в условии отношение через $k$:

$\frac{AM}{MC} = \frac{CK}{KB} = \frac{MP}{PK} = k$

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота. Если два треугольника имеют общую высоту, то отношение их площадей равно отношению их оснований.

Рассмотрим треугольники $AMP$ и $CMP$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $P$ к прямой $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований:

$\frac{S_{AMP}}{S_{CMP}} = \frac{AM}{MC} = k$

Зная, что $S_{AMP} = S_1$, выразим $S_{CMP}$:

$S_{CMP} = \frac{S_{AMP}}{k} = \frac{S_1}{k}$

Аналогично, рассмотрим треугольники $CKP$ и $BKP$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $P$ к прямой $BC$. Поэтому:

$\frac{S_{CKP}}{S_{BKP}} = \frac{CK}{KB} = k$

Зная, что $S_{BKP} = S_2$, выразим $S_{CKP}$:

$S_{CKP} = k \cdot S_{BKP} = k S_2$

Теперь рассмотрим треугольники $CMP$ и $CKP$. У них общая вершина $C$, а их основания $MP$ и $PK$ лежат на одной прямой $MK$. Значит, отношение их площадей равно отношению длин оснований:

$\frac{S_{CMP}}{S_{CKP}} = \frac{MP}{PK} = k$

Подставим в это соотношение найденные выражения для $S_{CMP}$ и $S_{CKP}$:

$\frac{S_1/k}{kS_2} = k \implies \frac{S_1}{k^2 S_2} = k \implies S_1 = k^3 S_2$

Отсюда находим $k$:

$k^3 = \frac{S_1}{S_2} \implies k = \sqrt[3]{\frac{S_1}{S_2}}$

Для нахождения площади треугольника $ABC$ ($S_{ABC}$) удобно сравнить ее с площадью треугольника $MCK$ ($S_{MCK}$). У этих треугольников общий угол $C$, поэтому отношение их площадей равно отношению произведений сторон, образующих этот угол:

$\frac{S_{ABC}}{S_{MCK}} = \frac{\frac{1}{2} AC \cdot BC \cdot \sin C}{\frac{1}{2} MC \cdot CK \cdot \sin C} = \frac{AC}{MC} \cdot \frac{BC}{CK}$

Выразим отношения сторон через $k$:

Из $\frac{AM}{MC} = k$ следует $AC = AM + MC = k \cdot MC + MC = (k+1)MC$, откуда $\frac{AC}{MC} = k+1$.

Из $\frac{CK}{KB} = k$ следует $KB = \frac{CK}{k}$, откуда $BC = BK + CK = \frac{CK}{k} + CK = CK(\frac{1}{k}+1) = CK\frac{k+1}{k}$, откуда $\frac{BC}{CK} = \frac{k+1}{k}$.

Тогда отношение площадей равно:

$\frac{S_{ABC}}{S_{MCK}} = (k+1) \cdot \frac{k+1}{k} = \frac{(k+1)^2}{k}$

$S_{ABC} = S_{MCK} \cdot \frac{(k+1)^2}{k}$

Площадь треугольника $MCK$ равна сумме площадей треугольников $CMP$ и $CKP$, так как точка $P$ лежит на отрезке $MK$:

$S_{MCK} = S_{CMP} + S_{CKP} = \frac{S_1}{k} + k S_2$

Подставим это выражение в формулу для $S_{ABC}$:

$S_{ABC} = \left(\frac{S_1}{k} + k S_2\right) \frac{(k+1)^2}{k}$

Используем ранее найденное соотношение $S_1 = k^3 S_2$ для упрощения:

$S_{ABC} = \left(\frac{k^3 S_2}{k} + k S_2\right) \frac{(k+1)^2}{k} = (k^2 S_2 + k S_2) \frac{(k+1)^2}{k} = k S_2 (k+1) \frac{(k+1)^2}{k} = S_2 (k+1)^3$

Теперь выразим ответ через $S_1$ и $S_2$. Подставим $k = \sqrt[3]{S_1/S_2}$:

$k+1 = \sqrt[3]{\frac{S_1}{S_2}} + 1 = \frac{\sqrt[3]{S_1}}{\sqrt[3]{S_2}} + 1 = \frac{\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2}}{\sqrt[3]{S_2}}$

$(k+1)^3 = \left( \frac{\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2}}{\sqrt[3]{S_2}} \right)^3 = \frac{(\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2})^3}{S_2}$

Окончательно получаем для площади треугольника $ABC$:

$S_{ABC} = S_2 \cdot (k+1)^3 = S_2 \cdot \frac{(\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2})^3}{S_2} = (\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2})^3$

Ответ: $S_{ABC} = (\sqrt[3]{S_1} + \sqrt[3]{S_2})^3$.