Номер 851, страница 216 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

851 Два непересекающихся отрезка делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части. Докажите, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между этими отрезками, в 3 раза меньше площади самого четырёхугольника.

Доказательство:

Пусть дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. На противоположных сторонах $AB$ и $CD$ выбраны точки.На стороне $AB$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $AP = PQ = QB = \frac{1}{3}AB$.На стороне $CD$ выбраны точки $S$ и $R$ так, что $DS = SR = RC = \frac{1}{3}DC$.Два непересекающихся отрезка $PS$ и $QR$ делят четырёхугольник $ABCD$ на три части: четырёхугольники $APSD$, $PQRS$ и $QBCR$.Обозначим площадь фигуры $F$ как $S_F$. Нам нужно доказать, что $S_{PQRS} = \frac{1}{3}S_{ABCD}$.

Площадь центрального четырёхугольника $PQRS$ можно найти, разбив его диагональю на два треугольника. Проведём диагональ $QS$. Тогда:$S_{PQRS} = S_{PQS} + S_{RQS}$

Выразим площади этих треугольников через площади частей исходного четырёхугольника.Площадь треугольника $PQS$ с основанием $PQ$ равна:$S_{PQS} = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot h(S, AB)$, где $h(S, AB)$ — расстояние от точки $S$ до прямой $AB$.Так как $PQ = \frac{1}{3}AB$, получаем:$S_{PQS} = \frac{1}{2} \cdot \frac{AB}{3} \cdot h(S, AB) = \frac{1}{6} AB \cdot h(S, AB)$.Точка $S$ делит отрезок $DC$ в отношении $DS:SC = 1:2$. Высота из точки $S$ на прямую $AB$ является средневзвешенной высот из точек $D$ и $C$:$h(S, AB) = \frac{2 \cdot h(D, AB) + 1 \cdot h(C, AB)}{2+1} = \frac{2h(D, AB) + h(C, AB)}{3}$.Подставим это в формулу для площади $S_{PQS}$:$S_{PQS} = \frac{1}{6} AB \cdot \frac{2h(D, AB) + h(C, AB)}{3} = \frac{1}{18} (2 \cdot AB \cdot h(D, AB) + AB \cdot h(C, AB))$.Используя формулы площадей треугольников $S_{ABD} = \frac{1}{2}AB \cdot h(D, AB)$ и $S_{ABC} = \frac{1}{2}AB \cdot h(C, AB)$, получаем $AB \cdot h(D, AB) = 2S_{ABD}$ и $AB \cdot h(C, AB) = 2S_{ABC}$.Следовательно:$S_{PQS} = \frac{1}{18} (2 \cdot 2S_{ABD} + 2S_{ABC}) = \frac{1}{9} (2S_{ABD} + S_{ABC})$.

Теперь найдём площадь треугольника $RQS$ (или, что то же самое, $QRS$) с основанием $RS$:$S_{RQS} = \frac{1}{2} \cdot RS \cdot h(Q, CD)$, где $h(Q, CD)$ — расстояние от точки $Q$ до прямой $CD$.Так как $RS = \frac{1}{3}DC$, получаем:$S_{RQS} = \frac{1}{2} \cdot \frac{DC}{3} \cdot h(Q, CD) = \frac{1}{6} DC \cdot h(Q, CD)$.Точка $Q$ делит отрезок $AB$ в отношении $AQ:QB = 2:1$. Высота из точки $Q$ на прямую $CD$ является средневзвешенной высот из точек $A$ и $B$:$h(Q, CD) = \frac{1 \cdot h(A, CD) + 2 \cdot h(B, CD)}{1+2} = \frac{h(A, CD) + 2h(B, CD)}{3}$.Подставим это в формулу для площади $S_{RQS}$:$S_{RQS} = \frac{1}{6} DC \cdot \frac{h(A, CD) + 2h(B, CD)}{3} = \frac{1}{18} (DC \cdot h(A, CD) + 2 \cdot DC \cdot h(B, CD))$.Используя формулы площадей треугольников $S_{ADC} = \frac{1}{2}DC \cdot h(A, CD)$ и $S_{BDC} = \frac{1}{2}DC \cdot h(B, CD)$, получаем $DC \cdot h(A, CD) = 2S_{ADC}$ и $DC \cdot h(B, CD) = 2S_{BDC}$.Следовательно:$S_{RQS} = \frac{1}{18} (2S_{ADC} + 2 \cdot 2S_{BDC}) = \frac{1}{9} (S_{ADC} + 2S_{BDC})$.

Теперь сложим площади двух треугольников, чтобы найти площадь $S_{PQRS}$:$S_{PQRS} = S_{PQS} + S_{RQS} = \frac{1}{9} (2S_{ABD} + S_{ABC}) + \frac{1}{9} (S_{ADC} + 2S_{BDC})$$S_{PQRS} = \frac{1}{9} (2S_{ABD} + S_{ABC} + S_{ADC} + 2S_{BDC})$.Сгруппируем слагаемые в скобках. Мы знаем, что площадь четырёхугольника $ABCD$ можно представить двумя способами:$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC}$$S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BDC}$Перепишем выражение для $S_{PQRS}$:$S_{PQRS} = \frac{1}{9} [ (S_{ABC} + S_{ADC}) + (S_{ABD} + S_{BDC}) + S_{ABD} + S_{BDC} ]$$S_{PQRS} = \frac{1}{9} [ S_{ABCD} + S_{ABCD} + S_{ABCD} ]$$S_{PQRS} = \frac{1}{9} (3 \cdot S_{ABCD}) = \frac{1}{3}S_{ABCD}$.

Таким образом, доказано, что площадь той части четырёхугольника, которая заключена между отрезками, в 3 раза меньше площади самого четырёхугольника.

Ответ: Утверждение доказано.