Номер 858, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 7. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 858, страница 217.

858 В треугольнике ABC проведена высота BD. Отрезок KА перпендикулярен к отрезку AB и равен отрезку DC, отрезок СМ перпендикулярен к отрезку ВС и равен отрезку AD. Докажите, что отрезки MB и KB равны.

Для того чтобы доказать, что отрезки $MB$ и $KB$ равны, мы докажем равенство их квадратов, то есть $MB^2 = KB^2$. Поскольку длины отрезков являются положительными величинами, из равенства квадратов будет следовать и равенство самих отрезков.

Рассмотрим треугольник $KAB$. По условию задачи, отрезок $KA$ перпендикулярен отрезку $AB$, следовательно, угол $\angle KAB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $KAB$ является прямоугольным. Применим к нему теорему Пифагора: $KB^2 = KA^2 + AB^2$.

По условию $KA = DC$. Подставив это в предыдущее равенство, получим: $KB^2 = DC^2 + AB^2$ (1).

Теперь рассмотрим треугольник $MCB$. По условию, отрезок $CM$ перпендикулярен отрезку $BC$, следовательно, угол $\angle MCB = 90^\circ$. Треугольник $MCB$ также является прямоугольным. Применим к нему теорему Пифагора: $MB^2 = MC^2 + BC^2$.

По условию $CM = AD$. Подставив это, получим: $MB^2 = AD^2 + BC^2$ (2).

Чтобы доказать, что $KB = MB$, нам необходимо доказать равенство правых частей выражений (1) и (2), то есть: $DC^2 + AB^2 = AD^2 + BC^2$.

В треугольнике $ABC$ проведена высота $BD$. Это означает, что $BD \perp AC$, и, следовательно, треугольники $ADB$ и $CDB$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $D$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ADB$: $AB^2 = AD^2 + BD^2$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $CDB$: $BC^2 = DC^2 + BD^2$.

Теперь подставим полученные выражения для $AB^2$ и $BC^2$ в равенство, которое мы хотим доказать: $DC^2 + (AD^2 + BD^2) = AD^2 + (DC^2 + BD^2)$.

Раскрыв скобки, мы видим, что левая и правая части уравнения тождественно равны: $DC^2 + AD^2 + BD^2 = AD^2 + DC^2 + BD^2$.

Таким образом, мы доказали, что $DC^2 + AB^2 = AD^2 + BC^2$. Из этого следует, что $KB^2 = MB^2$. Так как $KB$ и $MB$ — это длины отрезков и они не могут быть отрицательными, то $KB = MB$.

Ответ: Равенство отрезков $MB$ и $KB$ доказано.