Номер 860, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 860, страница 217.

860 На рисунке 275 изображён правильный пятиугольник ABCDE, т. е. выпуклый пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Докажите, что:

а) △AED ∾ △AFE;

б) $\frac{DA}{DF}=\frac{DF}{AF}$

а) Докажите, что: $\triangle AED \sim \triangle AFE$

По условию, $ABCDE$ — правильный пятиугольник. Это означает, что все его стороны равны ($AB=BC=CD=DE=EA$) и все внутренние углы равны.

Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $(n-2) \cdot 180^\circ$. Для пятиугольника ($n=5$) сумма углов составляет $(5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$. Так как все углы равны, каждый внутренний угол правильного пятиугольника равен $540^\circ / 5 = 108^\circ$. Следовательно, $\angle DEA = \angle EAB = 108^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AED$. Так как стороны $AE$ и $ED$ равны, $\triangle AED$ является равнобедренным. Угол при вершине $\angle DEA = 108^\circ$. Углы при основании равны: $\angle EAD = \angle EDA = (180^\circ - 108^\circ) / 2 = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABE$. Так как стороны $AB$ и $AE$ равны, $\triangle ABE$ также является равнобедренным. Угол при вершине $\angle EAB = 108^\circ$. Углы при основании равны: $\angle ABE = \angle AEB = (180^\circ - 108^\circ) / 2 = 72^\circ / 2 = 36^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AFE$, где $F$ — точка пересечения диагоналей $AD$ и $BE$. Найдем его углы:
- Угол $\angle FAE$ совпадает с углом $\angle EAD$. Таким образом, $\angle FAE = 36^\circ$.
- Угол $\angle AEF$ совпадает с углом $\angle AEB$. Таким образом, $\angle AEF = 36^\circ$.
- Третий угол, $\angle AFE$, находим из суммы углов треугольника: $\angle AFE = 180^\circ - (\angle FAE + \angle AEF) = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 108^\circ$.

Сравним углы треугольников $\triangle AED$ и $\triangle AFE$.
Для подобия $\triangle AED \sim \triangle AFE$ необходимо равенство соответствующих углов: $\angle EAD = \angle FAE = 36^\circ$ (это общий угол A).
$\angle AED = 108^\circ$ и $\angle AFE = 108^\circ$.
$\angle EDA = 36^\circ$ и $\angle AEF = 36^\circ$.
Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого (например, $\angle EAD = \angle FAE$ и $\angle EDA = \angle AEF$), треугольники подобны по первому признаку подобия. Что и требовалось доказать.

Ответ: Подобие $\triangle AED \sim \triangle AFE$ доказано.

б) Докажите, что: $\frac{DA}{DF} = \frac{DF}{AF}$

Из подобия треугольников $\triangle AED \sim \triangle AFE$, доказанного в пункте а), следует пропорциональность их соответствующих сторон: $\frac{AD}{AE} = \frac{AE}{AF} = \frac{ED}{FE}$

Из первого равенства $\frac{AD}{AE} = \frac{AE}{AF}$ по свойству пропорции получаем: $AE^2 = AD \cdot AF$

Теперь докажем, что отрезок $DF$ равен стороне пятиугольника $AE$. Рассмотрим $\triangle ABF$. Угол $\angle FBA = \angle EBA = 36^\circ$. Угол $\angle BAF = \angle EAB - \angle EAD = 108^\circ - 36^\circ = 72^\circ$. Угол $\angle AFB$ является смежным с углом $\angle AFE$, поэтому $\angle AFB = 180^\circ - \angle AFE = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$. В треугольнике $\triangle ABF$ два угла равны: $\angle BAF = \angle AFB = 72^\circ$. Следовательно, $\triangle ABF$ — равнобедренный, и $AB = BF$.

Так как $ABCDE$ — правильный пятиугольник, $AB = AE$. Отсюда следует, что $BF = AE$. Все диагонали правильного пятиугольника равны, поэтому $AD = BE$. Диагональ $AD = AF + FD$. Диагональ $BE = BF + FE$. Следовательно, $AF + FD = BF + FE$.

Как мы выяснили в пункте а), в $\triangle AFE$ углы $\angle FAE = \angle AEF = 36^\circ$, значит, он равнобедренный и $AF = FE$. Подставим $BF = AE$ и $FE = AF$ в равенство $AF + FD = BF + FE$: $AF + FD = AE + AF$ Вычитая $AF$ из обеих частей, получаем $FD = AE$.

Теперь вернемся к равенству $AE^2 = AD \cdot AF$. Заменим в нем $AE$ на равный ему отрезок $DF$: $DF^2 = AD \cdot AF$

Разделив обе части равенства на произведение $DF \cdot AF$ (длины отрезков не равны нулю), получим: $\frac{DF^2}{DF \cdot AF} = \frac{AD \cdot AF}{DF \cdot AF}$ $\frac{DF}{AF} = \frac{AD}{DF}$ Это равенство эквивалентно тому, что требовалось доказать: $\frac{DA}{DF} = \frac{DF}{AF}$.

Ответ: Равенство $\frac{DA}{DF} = \frac{DF}{AF}$ доказано.