Номер 862, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 862, страница 217.

862 Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами.

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$. Проведем в нем высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ к сторонам $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ являются основаниями высот и образуют так называемый ортотреугольник $A_1B_1C_1$. Нам нужно доказать, что высоты исходного треугольника $ABC$ являются биссектрисами углов ортотреугольника $A_1B_1C_1$.

Доказательство проведем для одной из высот, например, для $AA_1$. Мы докажем, что $AA_1$ является биссектрисой угла $\angle B_1A_1C_1$. Для остальных высот доказательство будет аналогичным в силу симметрии.

Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$ (ортоцентр). Нам нужно доказать, что луч $A_1A$ делит угол $\angle B_1A_1C_1$ пополам, то есть $\angle B_1A_1A = \angle C_1A_1A$. Поскольку точки $A$, $H$, $A_1$ лежат на одной прямой, это эквивалентно доказательству равенства $\angle B_1A_1H = \angle C_1A_1H$.

1. Рассмотрим четырехугольник $CB_1HA_1$.
По определению высот, $BB_1 \perp AC$ и $AA_1 \perp BC$. Следовательно, углы $\angle CB_1H$ и $\angle CA_1H$ являются прямыми: $\angle CB_1H = 90^\circ$ и $\angle CA_1H = 90^\circ$.
Сумма противоположных углов в этом четырехугольнике равна $\angle CB_1H + \angle CA_1H = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Это означает, что четырехугольник $CB_1HA_1$ является вписанным в окружность (вокруг него можно описать окружность).

2. Так как четырехугольник $CB_1HA_1$ вписанный, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle B_1A_1H$ и $\angle B_1CH$ опираются на дугу $B_1H$. Следовательно, $\angle B_1A_1H = \angle B_1CH$.
Угол $\angle B_1CH$ — это угол $\angle ACC_1$ (так как $CH$ — это часть высоты $CC_1$, а $CB_1$ — часть стороны $AC$).
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$ (угол $\angle AC_1C = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle ACC_1 = 90^\circ - \angle A$.
Таким образом, мы получили, что $\angle B_1A_1H = 90^\circ - \angle A$.

3. Теперь рассмотрим четырехугольник $BC_1HA_1$.
По определению высот, $CC_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp BC$. Следовательно, углы $\angle BC_1H$ и $\angle BA_1H$ являются прямыми: $\angle BC_1H = 90^\circ$ и $\angle BA_1H = 90^\circ$.
Сумма противоположных углов в этом четырехугольнике равна $\angle BC_1H + \angle BA_1H = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Значит, четырехугольник $BC_1HA_1$ также является вписанным в окружность.

4. В вписанном четырехугольнике $BC_1HA_1$ углы $\angle C_1A_1H$ и $\angle C_1BH$ опираются на одну и ту же дугу $C_1H$, поэтому они равны: $\angle C_1A_1H = \angle C_1BH$.
Угол $\angle C_1BH$ — это угол $\angle ABB_1$ (так как $BH$ — это часть высоты $BB_1$, а $BC_1$ — часть стороны $AB$).
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABB_1$ (угол $\angle AB_1B = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle ABB_1 = 90^\circ - \angle A$.
Таким образом, мы получили, что $\angle C_1A_1H = 90^\circ - \angle A$.

5. Сравнивая результаты из пунктов 2 и 4, имеем:
$\angle B_1A_1H = 90^\circ - \angle A$
$\angle C_1A_1H = 90^\circ - \angle A$
Отсюда следует, что $\angle B_1A_1H = \angle C_1A_1H$.
Это означает, что высота $AA_1$ является биссектрисой угла $\angle B_1A_1C_1$ ортотреугольника.

Аналогичным образом, рассматривая другие пары вписанных четырехугольников ($AC_1HB_1$ и $A_1CHB_1$ для высоты $BB_1$; $AB_1HC_1$ и $A_1BHC_1$ для высоты $CC_1$), можно доказать, что:

• Высота $BB_1$ является биссектрисой угла $\angle A_1B_1C_1$.
• Высота $CC_1$ является биссектрисой угла $\angle B_1C_1A_1$.

Таким образом, утверждение задачи полностью доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, действительно образуют треугольник, в котором эти высоты являются биссектрисами его углов.