Номер 861, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 861, страница 217.

861 В треугольнике ABC (AB ≠ АС) через середину М стороны ВС проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые AB и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE.

Для доказательства равенства отрезков BD и CE выполним дополнительное построение и рассмотрим несколько пар треугольников.

1. Дополнительное построение

Пусть AL — биссектриса угла A в треугольнике ABC. По условию, прямая, проходящая через точку M, параллельна AL. Обозначим эту прямую как DE. Таким образом, DE || AL.

Проведем через вершину C прямую, параллельную прямой AB. Пусть эта прямая пересекает прямую DE в точке F. Таким образом, по построению, CF || AB.

2. Доказательство равенства $ \Delta BDM $ и $ \Delta CFM $

Рассмотрим треугольники $ \Delta BDM $ и $ \Delta CFM $:

• BM = CM, так как M — середина стороны BC по условию.
• $ \angle DMB = \angle FMC $ как вертикальные углы.
• Так как по построению CF || AB (а значит CF || DB), то углы $ \angle DBM $ и $ \angle FCM $ являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых DB и CF секущей BC. Следовательно, $ \angle DBM = \angle FCM $.

Таким образом, $ \Delta BDM \cong \Delta CFM $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, а именно: BD = CF.

3. Доказательство равенства отрезков CF и CE

Теперь докажем, что треугольник $ \Delta CFE $ является равнобедренным. Для этого нужно показать, что углы при его основании FE равны, то есть $ \angle CFE = \angle CEF $.

Пусть $ \angle BAL = \angle CAL = \alpha $, так как AL — биссектриса угла A.

• Рассмотрим параллельные прямые DE и AL и секущую AC. Углы $ \angle CEF $ (он же $ \angle AEC $) и $ \angle CAL $ являются соответственными. Следовательно, $ \angle CEF = \angle CAL = \alpha $.
• Рассмотрим параллельные прямые CF и AB (по построению) и секущую DE. Углы $ \angle CFE $ и $ \angle ADE $ являются накрест лежащими (или соответственными, в зависимости от расположения точек). В любом случае, из-за параллельности прямых эти углы будут равны. Для определенности, если M лежит между D и E, то углы $ \angle CFE $ и $ \angle ADE $ — накрест лежащие, значит $ \angle CFE = \angle ADE $.
• Рассмотрим параллельные прямые DE и AL и секущую AB. Углы $ \angle ADE $ и $ \angle BAL $ являются соответственными. Следовательно, $ \angle ADE = \angle BAL = \alpha $.

Объединяя полученные результаты, имеем: $ \angle CFE = \angle ADE = \alpha $.

Таким образом, мы показали, что $ \angle CEF = \alpha $ и $ \angle CFE = \alpha $. Отсюда следует, что $ \angle CEF = \angle CFE $, а значит, треугольник $ \Delta CFE $ — равнобедренный с основанием FE. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны: CF = CE.

4. Заключение

Из пункта 2 мы получили, что BD = CF.

Из пункта 3 мы получили, что CF = CE.

Следовательно, комбинируя эти два равенства, получаем, что BD = CE. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство BD = CE доказано.