Номер 856, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 7. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 856, страница 217.

856 Сторона AB треугольника ABC продолжена за точку А на отрезок AD, равный АС. На лучах ВA и BС взяты точки K и М так, что площади треугольников BDM и ВСK равны. Найдите угол ВKМ, если ∠BAC = α.

Обозначим угол $\angle ABC$ как $\beta$. Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

Запишем выражения для площадей треугольников $BDM$ и $BCK$, используя общий для них угол $\beta$ при вершине $B$. Для треугольника $BDM$ площадь равна: $S_{BDM} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BM \cdot \sin(\angle DBM) = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BM \cdot \sin\beta$. Для треугольника $BCK$ площадь равна: $S_{BCK} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BK \cdot \sin(\angle CBK) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BK \cdot \sin\beta$.

Согласно условию задачи, площади этих треугольников равны: $S_{BDM} = S_{BCK}$. Следовательно, мы можем приравнять правые части выражений для площадей: $\frac{1}{2} \cdot BD \cdot BM \cdot \sin\beta = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BK \cdot \sin\beta$.

Поскольку $\triangle ABC$ — это треугольник, его вершины не лежат на одной прямой, поэтому угол $\beta$ не равен $0^\circ$ или $180^\circ$, и $\sin\beta \neq 0$. Мы можем сократить обе части равенства на $\frac{1}{2}\sin\beta$, что дает нам: $BD \cdot BM = BC \cdot BK$.

Перепишем это соотношение в виде пропорции: $\frac{BK}{BD} = \frac{BM}{BC}$.

Теперь рассмотрим треугольники $BKM$ и $BDC$. У них есть общий угол $\angle KBM = \angle DBC = \beta$. Стороны, образующие этот угол в обоих треугольниках, пропорциональны, как мы показали выше. Таким образом, по второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle BKM$ подобен $\triangle BDC$.

Из подобия треугольников $\triangle BKM \sim \triangle BDC$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, интересующий нас угол $\angle BKM$ равен углу $\angle BDC$: $\angle BKM = \angle BDC$.

Осталось найти величину угла $\angle BDC$. По условию, сторона $AB$ продолжена за точку $A$ на отрезок $AD$. Это означает, что точки $D$, $A$, $B$ лежат на одной прямой. Углы $\angle DAC$ и $\angle BAC$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. $\angle DAC = 180^\circ - \angle BAC$. Так как по условию $\angle BAC = \alpha$, то $\angle DAC = 180^\circ - \alpha$.

Рассмотрим $\triangle ADC$. По условию $AD = AC$, значит, этот треугольник является равнобедренным с основанием $DC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ADC = \angle ACD$. Сумма углов в $\triangle ADC$ равна $180^\circ$: $\angle ADC + \angle ACD + \angle DAC = 180^\circ$. Подставим известные значения и равенство углов: $2 \cdot \angle ADC + (180^\circ - \alpha) = 180^\circ$. $2 \cdot \angle ADC = \alpha$. $\angle ADC = \frac{\alpha}{2}$.

Угол $\angle BDC$ совпадает с углом $\angle ADC$, так как точки $B$, $A$, $D$ лежат на одной прямой. Следовательно, $\angle BDC = \frac{\alpha}{2}$. А поскольку $\angle BKM = \angle BDC$, то $\angle BKM = \frac{\alpha}{2}$.

Ответ: $\frac{\alpha}{2}$