Номер 859, страница 217 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 7. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 859, страница 217.

859 Внутри прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С взята точка О так, что справедливо равенствo S_OAB = S_OAC = S_OBC. Докажите, что справедливо равенство ОА² + OB² = 5OC².

Доказательство:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим вершину прямого угла $C$ в начало прямоугольной системы координат, то есть $C(0, 0)$. Катеты треугольника расположим на осях координат: вершину $A$ на оси $Oy$ и вершину $B$ на оси $Ox$. Пусть координаты вершин будут $A(0, a)$ и $B(b, 0)$, где $a = AC$ и $b = BC$ — длины катетов. Пусть точка $O$ имеет координаты $(x, y)$.

Известно, что точка $O$, которая делит треугольник на три равновеликих треугольника ($S_{OAB} = S_{OAC} = S_{OBC}$), является его центроидом (центром масс). Найдем координаты этой точки.

Площадь всего треугольника $ABC$ равна $S_{ABC} = \frac{1}{2}ab$. Также, $S_{ABC} = S_{OAB} + S_{OAC} + S_{OBC}$. По условию, площади этих трех треугольников равны, обозначим их $S$. Тогда $S_{ABC} = 3S$.

Площадь треугольника $OAC$ можно найти как половину произведения основания $AC$ на высоту, проведенную из точки $O$ к этому основанию. Высотой является абсцисса точки $O$, то есть $x$. $S_{OAC} = S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot x = \frac{1}{2}ax$.

Аналогично, площадь треугольника $OBC$ равна половине произведения основания $BC$ на высоту, равную ординате точки $O$, то есть $y$. $S_{OBC} = S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot y = \frac{1}{2}by$.

Так как $S_{ABC} = 3S$, имеем: $\frac{1}{2}ab = 3 \cdot (\frac{1}{2}ax) \implies ab = 3ax \implies x = \frac{b}{3}$.
$\frac{1}{2}ab = 3 \cdot (\frac{1}{2}by) \implies ab = 3by \implies y = \frac{a}{3}$.

Итак, координаты точки $O$ — это $(\frac{b}{3}, \frac{a}{3})$.

Теперь найдем квадраты расстояний от точки $O$ до вершин треугольника $A$, $B$ и $C$, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$.

• $OC^2$: расстояние от $O(\frac{b}{3}, \frac{a}{3})$ до $C(0, 0)$.
  $OC^2 = (\frac{b}{3} - 0)^2 + (\frac{a}{3} - 0)^2 = \frac{b^2}{9} + \frac{a^2}{9} = \frac{a^2 + b^2}{9}$.
• $OA^2$: расстояние от $O(\frac{b}{3}, \frac{a}{3})$ до $A(0, a)$.
  $OA^2 = (\frac{b}{3} - 0)^2 + (\frac{a}{3} - a)^2 = (\frac{b}{3})^2 + (-\frac{2a}{3})^2 = \frac{b^2}{9} + \frac{4a^2}{9} = \frac{4a^2 + b^2}{9}$.
• $OB^2$: расстояние от $O(\frac{b}{3}, \frac{a}{3})$ до $B(b, 0)$.
  $OB^2 = (\frac{b}{3} - b)^2 + (\frac{a}{3} - 0)^2 = (-\frac{2b}{3})^2 + (\frac{a}{3})^2 = \frac{4b^2}{9} + \frac{a^2}{9} = \frac{a^2 + 4b^2}{9}$.

Теперь проверим требуемое равенство $OA^2 + OB^2 = 5OC^2$.

Вычислим левую часть равенства: $OA^2 + OB^2 = \frac{4a^2 + b^2}{9} + \frac{a^2 + 4b^2}{9} = \frac{(4a^2 + a^2) + (b^2 + 4b^2)}{9} = \frac{5a^2 + 5b^2}{9} = \frac{5(a^2 + b^2)}{9}$.

Вычислим правую часть равенства: $5OC^2 = 5 \cdot (\frac{a^2 + b^2}{9}) = \frac{5(a^2 + b^2)}{9}$.

Поскольку левая и правая части равны, равенство $OA^2 + OB^2 = 5OC^2$ доказано.

Ответ: Равенство $OA^2 + OB^2 = 5OC^2$ доказано.