Номер 864, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 864, страница 218.

864 Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов равна а.

Решение:
Введем систему координат, разместив вершину прямого угла треугольника в начале координат, а катеты — на осях.
Пусть $C$ — вершина прямого угла, тогда ее координаты $C(0, 0)$. Пусть вершины острых углов $A$ и $B$ лежат на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно. Обозначим длины катетов $AC$ и $BC$ как $x_0$ и $y_0$. Тогда координаты вершин треугольника будут $C(0, 0)$, $A(x_0, 0)$ и $B(0, y_0)$.
По условию задачи, сумма катетов равна $a$, то есть $x_0 + y_0 = a$.
Гипотенузой треугольника является отрезок $AB$. На этой гипотенузе построен квадрат, который не перекрывается с треугольником. Пусть это будет квадрат $ABDE$.
Найдем координаты вершин квадрата. Вектор, соответствующий стороне $AB$, равен $\vec{AB} = (0 - x_0, y_0 - 0) = (-x_0, y_0)$.
Вектор стороны квадрата, смежной с $AB$, например $\vec{AD}$, должен быть перпендикулярен вектору $\vec{AB}$ и иметь ту же длину. Вектор, перпендикулярный вектору $(-x_0, y_0)$, это вектор $(y_0, x_0)$ или $(-y_0, -x_0)$.
Треугольник $ABC$ находится в первом координатном квадранте. Чтобы квадрат не перекрывался с треугольником, он должен быть построен "наружу" от гипотенузы. Это соответствует вектору $\vec{AD} = (y_0, x_0)$.
Тогда координаты вершины $D$ можно найти, прибавив вектор $\vec{AD}$ к координатам точки $A$:$D = A + \vec{AD} = (x_0, 0) + (y_0, x_0) = (x_0 + y_0, x_0)$.
Координаты вершины $E$ можно найти, прибавив тот же вектор $\vec{AD}$ (так как $\vec{BE} = \vec{AD}$) к координатам точки $B$:$E = B + \vec{AD} = (0, y_0) + (y_0, x_0) = (y_0, y_0 + x_0)$.
Таким образом, вершины квадрата: $A(x_0, 0)$, $B(0, y_0)$, $D(x_0+y_0, x_0)$, $E(y_0, y_0+x_0)$.
Точка пересечения диагоналей квадрата, обозначим ее $O$, является серединой любой из диагоналей, например, диагонали $BD$.
Найдем координаты точки $O$ как середины отрезка $BD$:$O = \left( \frac{x_B + x_D}{2}, \frac{y_B + y_D}{2} \right) = \left( \frac{0 + (x_0 + y_0)}{2}, \frac{y_0 + x_0}{2} \right) = \left( \frac{x_0 + y_0}{2}, \frac{x_0 + y_0}{2} \right)$.
Так как по условию $x_0 + y_0 = a$, координаты точки $O$ равны:$O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.
Теперь найдем расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата $O$ до вершины прямого угла $C(0,0)$. Используем формулу расстояния между двумя точками:$OC = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}}$.
$OC = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.