Номер 870, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 870, страница 218.

870 Точка М не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма ABCD. Докажите, что существуют точки N, Р и Q, расположенные так, что A, B, C и D являются соответственно серединами отрезков MN, NP, PQ и QM.

Для решения задачи воспользуемся методами векторной алгебры. Обозначим радиус-векторы точек A, B, C, D, M, N, P, Q как $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{m}, \vec{n}, \vec{p}, \vec{q}$ соответственно, отложенные от некоторого общего начала.

Условия, что точки A, B, C и D являются серединами отрезков MN, NP, PQ и QM, можно записать в виде следующих векторных равенств:

1. Точка A — середина MN: $\vec{a} = \frac{\vec{m} + \vec{n}}{2}$
2. Точка B — середина NP: $\vec{b} = \frac{\vec{n} + \vec{p}}{2}$
3. Точка C — середина PQ: $\vec{c} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$
4. Точка D — середина QM: $\vec{d} = \frac{\vec{q} + \vec{m}}{2}$

По условию, точки A, B, C, D параллелограмма и точка M заданы. Нам нужно доказать, что существуют точки N, P и Q, для которых выполняются эти четыре условия. Для этого мы последовательно выразим радиус-векторы $\vec{n}$, $\vec{p}$ и $\vec{q}$ через известные векторы.

Из первого уравнения найдем радиус-вектор точки N:
$\vec{n} = 2\vec{a} - \vec{m}$
Это уравнение показывает, что положение точки N однозначно определяется положением заданных точек A и M. Следовательно, точка N существует и единственна.

Из второго уравнения найдем радиус-вектор точки P, подставив в него найденное выражение для $\vec{n}$:
$\vec{p} = 2\vec{b} - \vec{n} = 2\vec{b} - (2\vec{a} - \vec{m}) = 2\vec{b} - 2\vec{a} + \vec{m}$
Так как точки A, B и M заданы, положение точки P также определено однозначно. Следовательно, точка P существует.

Из третьего уравнения найдем радиус-вектор точки Q, подставив в него найденное выражение для $\vec{p}$:
$\vec{q} = 2\vec{c} - \vec{p} = 2\vec{c} - (2\vec{b} - 2\vec{a} + \vec{m}) = 2\vec{c} - 2\vec{b} + 2\vec{a} - \vec{m}$
Положение точки Q также однозначно определяется заданными точками. Следовательно, точка Q существует.

Мы определили положения точек N, P и Q так, что они удовлетворяют первым трем условиям. Теперь необходимо проверить, выполняется ли для них четвертое условие: является ли точка D серединой отрезка QM.
Четвертое условие эквивалентно равенству $2\vec{d} = \vec{q} + \vec{m}$. Подставим в правую часть этого равенства найденное выражение для $\vec{q}$:
$\vec{q} + \vec{m} = (2\vec{c} - 2\vec{b} + 2\vec{a} - \vec{m}) + \vec{m} = 2\vec{c} - 2\vec{b} + 2\vec{a}$
Таким образом, четвертое условие сводится к проверке равенства:
$2\vec{d} = 2\vec{c} - 2\vec{b} + 2\vec{a}$
Разделив обе части на 2, получим:
$\vec{d} = \vec{c} - \vec{b} + \vec{a}$
Это равенство можно переписать в виде $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$.

Данное равенство ($\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$) является основным свойством любого параллелограмма. Оно означает, что суммы радиус-векторов его противоположных вершин равны. Это следует из того, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Также это можно доказать из векторного равенства для сторон: поскольку ABCD — параллелограмм, то $\vec{AB} = \vec{DC}$. В координатах это означает $\vec{b} - \vec{a} = \vec{c} - \vec{d}$, откуда, перенося слагаемые, получаем $\vec{b} + \vec{d} = \vec{a} + \vec{c}$.

Поскольку ABCD — параллелограмм, это равенство выполняется. Следовательно, четвертое условие для построенных нами точек N, P, Q выполняется автоматически.
Это доказывает, что для любой точки M существуют и притом единственные точки N, P и Q, удовлетворяющие всем условиям задачи. Условие, что точка M не лежит на прямых, содержащих стороны параллелограмма, гарантирует, что построенные фигуры не являются вырожденными (например, если бы M совпала с A, то и N совпала бы с A, и отрезок MN был бы точкой).

Ответ: Существование точек N, P и Q доказано.