Номер 875, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 875, страница 219.

875 Из вершины А треугольника ABC проведены перпендикуляры AM и АK к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах В и С. Докажите, что отрезок МK равен половине периметра треугольника ABC.

Для доказательства утверждения выполним дополнительные построения и воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и средней линии треугольника.

1. Построение и анализ при вершине B

Пусть $l_B$ — биссектриса внешнего угла треугольника $ABC$ при вершине $B$. По условию, из вершины $A$ на эту биссектрису опущен перпендикуляр $AM$ (то есть $M \in l_B$ и $AM \perp l_B$). Продлим отрезок $AM$ до пересечения с прямой, содержащей сторону $BC$, в точке $A_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABA_1$. Прямая $l_B$, содержащая отрезок $BM$, является высотой в этом треугольнике, так как $BM \perp AA_1$ по построению.

Внешний угол при вершине $B$ (образованный стороной $BC$ и продолжением стороны $AB$ за точку $B$) и угол $\angle ABA_1$ (внутренний угол треугольника $ABA_1$) являются вертикальными. Поскольку $l_B$ — биссектриса внешнего угла, она также является биссектрисой угла $\angle ABA_1$.

Таким образом, в $\triangle ABA_1$ отрезок $BM$ является одновременно высотой и биссектрисой. Это свойство равнобедренного треугольника, следовательно, $\triangle ABA_1$ — равнобедренный с основанием $AA_1$, и $AB = BA_1$. Кроме того, в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой, поэтому точка $M$ — середина отрезка $AA_1$.

2. Построение и анализ при вершине C

Аналогично, пусть $l_C$ — биссектриса внешнего угла при вершине $C$. По условию, $AK \perp l_C$ ($K \in l_C$). Продлим отрезок $AK$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $A_2$.

Рассмотрим $\triangle ACA_2$. Прямая $l_C$, содержащая отрезок $CK$, является высотой в этом треугольнике ($CK \perp AA_2$).

Угол $\angle ACA_2$ и внешний угол при вершине $C$ (образованный стороной $BC$ и продолжением стороны $AC$ за точку $C$) являются вертикальными. Поскольку $l_C$ — биссектриса внешнего угла, она также является биссектрисой угла $\angle ACA_2$.

Следовательно, в $\triangle ACA_2$ отрезок $CK$ является одновременно высотой и биссектрисой. Это означает, что $\triangle ACA_2$ — равнобедренный с основанием $AA_2$, и $AC = CA_2$. Точка $K$ является серединой отрезка $AA_2$.

3. Применение теоремы о средней линии

Рассмотрим $\triangle AA_1A_2$. Мы установили, что точка $M$ — середина стороны $AA_1$, а точка $K$ — середина стороны $AA_2$. Значит, отрезок $MK$ является средней линией $\triangle AA_1A_2$.

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины основания, которому она параллельна: $MK = \frac{1}{2} A_1A_2$.

4. Вычисление длины отрезка $A_1A_2$

Точки $A_1$, $B$, $C$, $A_2$ лежат на одной прямой. Биссектриса внешнего угла при вершине $B$ направлена "наружу" от треугольника, поэтому точка $A_1$ (пересечение продолжения $AM$ с прямой $BC$) окажется на продолжении стороны $CB$ за точку $B$. Аналогично, точка $A_2$ окажется на продолжении стороны $BC$ за точку $C$. Таким образом, точки на прямой располагаются в последовательности $A_1-B-C-A_2$.

Длина отрезка $A_1A_2$ складывается из длин составляющих его отрезков: $A_1A_2 = A_1B + BC + CA_2$.

Из пункта 1 мы знаем, что $A_1B = AB$.

Из пункта 2 мы знаем, что $CA_2 = AC$.

Подставляя эти значения, получаем: $A_1A_2 = AB + BC + AC$.

Длина отрезка $A_1A_2$ равна периметру треугольника $ABC$.

5. Заключение

Подставим найденное выражение для длины $A_1A_2$ в формулу для $MK$ из пункта 3:

$MK = \frac{1}{2} A_1A_2 = \frac{1}{2} (AB + BC + AC)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Отрезок $MK$ равен половине периметра треугольника $ABC$, то есть $MK = \frac{1}{2} (AB + BC + AC)$.