Номер 882, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 882, страница 219.

882 Постройте точку, принадлежащую большему основанию равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой стороны в n раз дальше, чем от другой (n = 2, 3, 4).

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Требуется построить точку $P$ на основании $AD$ такую, что расстояние от неё до одной из боковых сторон (назовем ее "данной стороной") в $n$ раз больше, чем расстояние до другой боковой стороны. Для определенности, пусть "данной" стороной будет $CD$.

Анализ задачи

Обозначим искомую точку на основании $AD$ как $P$. Пусть $d_1$ — это расстояние от точки $P$ до боковой стороны $AB$, а $d_2$ — расстояние от точки $P$ до боковой стороны $CD$. Условие задачи, при нашем выборе "данной" стороны, записывается как $d_2 = n \cdot d_1$.

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная, углы при основании равны. Обозначим угол при большем основании $\angle DAB = \angle CDA = \alpha$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Расстояние от точки $P$ на отрезке $AD$ до прямой, содержащей боковую сторону $AB$, можно выразить через длину отрезка $AP$ и угол $\alpha$. Это расстояние равно $AP \cdot \sin(\angle DAB)$, то есть $d_1 = AP \cdot \sin(\alpha)$.

Аналогично, расстояние $d_2$ от точки $P$ до прямой, содержащей боковую сторону $CD$, равно $PD \cdot \sin(\angle CDA)$, то есть $d_2 = PD \cdot \sin(\alpha)$.

Теперь подставим эти выражения в условие задачи $d_2 = n \cdot d_1$: $PD \cdot \sin(\alpha) = n \cdot (AP \cdot \sin(\alpha))$

Для трапеции угол $\alpha$ не является ни $0^\circ$, ни $180^\circ$, поэтому $\sin(\alpha) \neq 0$. Следовательно, мы можем сократить обе части уравнения на $\sin(\alpha)$: $PD = n \cdot AP$

Это ключевое соотношение означает, что искомая точка $P$ должна делить основание $AD$ в отношении $AP : PD = 1 : n$. Таким образом, сложная на первый взгляд задача сводится к классической задаче на построение: делению отрезка в заданном отношении.

Построение

Для построения точки $P$, делящей отрезок $AD$ в отношении $1:n$ (где по условию $n=2, 3$ или $4$), выполним следующие шаги, основанные на теореме Фалеса.

1. Проведём из вершины $A$ произвольный луч $l$, не лежащий на прямой $AD$.
2. На луче $l$ от точки $A$ отложим с помощью циркуля $n+1$ равных отрезков произвольной длины. Получим точки $M_1, M_2, \ldots, M_{n+1}$ так, что $AM_1 = M_1M_2 = \ldots = M_nM_{n+1}$. Например, для $n=2$ откладываем 3 отрезка, для $n=3$ — 4 отрезка, для $n=4$ — 5 отрезков.
3. Соединим последнюю точку $M_{n+1}$ с точкой $D$ отрезком прямой.
4. Через точку $M_1$ проведём прямую, параллельную отрезку $M_{n+1}D$ (это стандартное построение с помощью циркуля и линейки).
5. Точка пересечения этой параллельной прямой с основанием $AD$ и будет искомой точкой $P$.

Обоснование

Согласно обобщенной теореме Фалеса, параллельные прямые $PM_1$ и $DM_{n+1}$, пересекающие стороны угла $\angle DAM_{n+1}$, отсекают на них пропорциональные отрезки. Таким образом, справедливо соотношение: $\frac{AP}{PD} = \frac{AM_1}{M_1M_{n+1}}$

По построению, отрезок $AM_1$ является одной условной единицей длины, а отрезок $M_1M_{n+1}$ состоит из $n$ таких же условных единиц длины ($M_1M_{n+1} = M_1M_2 + M_2M_3 + \ldots + M_nM_{n+1}$). Следовательно: $\frac{AM_1}{M_1M_{n+1}} = \frac{1}{n}$

Отсюда получаем, что $\frac{AP}{PD} = \frac{1}{n}$, или $PD = n \cdot AP$. Как было показано в анализе, это условие эквивалентно исходному требованию задачи $d_2 = n \cdot d_1$. Таким образом, построенная точка $P$ является искомой.

Примечание: Если бы в условии "данной" стороной была названа сторона $AB$, то условие было бы $d(P, AB) = n \cdot d(P, CD)$, что привело бы к соотношению $AP = n \cdot PD$, или $AP : PD = n : 1$. В этом случае при построении параллельную прямую следовало бы проводить через точку $M_n$, а не $M_1$.

Ответ: Искомая точка $P$ находится на большем основании $AD$ и делит его в отношении $1:n$, считая от вершины, прилежащей к "другой" боковой стороне. Построение точки $P$ сводится к делению отрезка $AD$ в отношении $1:n$ (или $n:1$, в зависимости от того, какая из боковых сторон выбрана как "данная") с помощью теоремы Фалеса, как подробно описано выше.