Номер 884, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 884, страница 220.

884 Постройте равнобедренный треугольник по углу между боковыми сторонами и сумме основания и высоты, проведённой к основанию.

Для построения искомого равнобедренного треугольника воспользуемся методом анализа, чтобы найти соотношения между его элементами, а затем выполним построение с помощью циркуля и линейки.

Анализ

Пусть искомый равнобедренный треугольник $ABC$ построен. $AB = AC$, $\angle BAC = \alpha$ — угол между боковыми сторонами. Проведём высоту $AH$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой и биссектрисой.

Следовательно, $H$ — середина $BC$, то есть $BH = HC = \frac{1}{2}BC$, и $AH$ — биссектриса угла $A$, то есть $\angle BAH = \angle CAH = \frac{\alpha}{2}$.

Обозначим длину основания $BC$ как $a$ и длину высоты $AH$ как $h$. По условию нам дана сумма $S = a + h$ и угол $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$. В нём катеты равны $AH = h$ и $BH = \frac{a}{2}$. Угол $\angle BAH = \frac{\alpha}{2}$.Из определения тангенса угла в прямоугольном треугольнике имеем:

$\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{BH}{AH} = \frac{a/2}{h} = \frac{a}{2h}$

Отсюда получаем соотношение между основанием и высотой:

$\frac{a}{h} = 2 \tan(\frac{\alpha}{2})$

Таким образом, задача сводится к построению двух отрезков $a$ и $h$, для которых известна их сумма $S$ и их отношение. Это классическая задача на построение, решаемая с помощью теоремы Фалеса (или теоремы о пропорциональных отрезках).

Построение

Построение можно разбить на три этапа:1. Построение отрезков, отношение которых равно $a/h$.2. Деление данного отрезка $S$ в найденном отношении для нахождения $a$ и $h$.3. Построение искомого треугольника по основанию $a$ и высоте $h$.

1. Построение вспомогательных отрезков.
   a. Строим угол, равный $\frac{\alpha}{2}$. Для этого с помощью циркуля и линейки делим данный угол $\alpha$ пополам.
   b. Строим прямоугольный треугольник с этим углом. На одной стороне угла отложим произвольный отрезок $XY$. Из точки $Y$ восстановим перпендикуляр к прямой $XY$. Точку пересечения перпендикуляра с другой стороной угла обозначим $Z$. Получим прямоугольный треугольник $XYZ$ с $\angle Y = 90^\circ$ и $\angle X = \frac{\alpha}{2}$.
   c. В этом треугольнике $\tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{ZY}{XY}$. Значит, отношение $\frac{a}{h} = 2 \frac{ZY}{XY}$.
   d. Построим отрезок $P$, равный $2 \cdot ZY$, и отрезок $Q$, равный $XY$. Теперь отношение $a:h$ равно отношению длин построенных отрезков $P:Q$.
2. Нахождение основания $a$ и высоты $h$.
   a. Начертим прямую и отложим на ней отрезок $DE$, равный данной длине $S$.
   b. Из точки $D$ проведём луч $DF$, не лежащий на прямой $DE$.
   c. На луче $DF$ от точки $D$ отложим последовательно отрезки $DG$, равный отрезку $P$ (пропорциональному $a$), и $GK$, равный отрезку $Q$ (пропорциональному $h$).
   d. Соединим точки $K$ и $E$.
   e. Через точку $G$ проведём прямую, параллельную $KE$. Пусть она пересечёт отрезок $DE$ в точке $H'$.
   f. Согласно теореме о пропорциональных отрезках, отрезок $DE$ разделился точкой $H'$ в том же отношении, что и отрезок $DK$ точкой $G$: $\frac{DH'}{H'E} = \frac{DG}{GK} = \frac{P}{Q} = \frac{a}{h}$.
   g. Таким образом, мы нашли искомые длины: $a = DH'$ и $h = H'E$.
3. Построение равнобедренного треугольника $ABC$.
   a. На произвольной прямой отложим отрезок $BC$, равный построенному отрезку $a$.
   b. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $BC$. Для этого из точек $B$ и $C$ проведём дуги окружностей одинакового радиуса (большего, чем половина $BC$) и соединим точки их пересечения. Пусть $H$ — середина $BC$.
   c. На серединном перпендикуляре от точки $H$ отложим отрезок $AH$, равный построенному отрезку $h$.
   d. Соединим точку $A$ с точками $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Построенный треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$, следовательно, $AB = AC$.

Высота, проведённая к основанию, по построению равна $AH = h$. Основание равно $BC = a$. Сумма основания и высоты равна $a+h = DH' + H'E = DE = S$, что соответствует условию.

Осталось доказать, что угол при вершине $\angle BAC$ равен $\alpha$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB$. В нём $AH = h$ и $BH = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$.Найдем тангенс угла $\angle BAH$:

$\tan(\angle BAH) = \frac{BH}{AH} = \frac{a/2}{h} = \frac{a}{2h}$

Из нашего построения мы знаем, что $\frac{a}{h} = \frac{P}{Q} = \frac{2 \cdot ZY}{XY}$.Вспомогательный прямоугольный треугольник $XYZ$ был построен так, что $\angle X = \frac{\alpha}{2}$, а $\tan(\angle X) = \frac{ZY}{XY}$.Следовательно,

$\frac{a}{2h} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{h} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot ZY}{XY} = \frac{ZY}{XY} = \tan(\frac{\alpha}{2})$

Так как $\tan(\angle BAH) = \tan(\frac{\alpha}{2})$ и оба угла острые, то $\angle BAH = \frac{\alpha}{2}$.Поскольку $AH$ — биссектриса в равнобедренном треугольнике $ABC$, $\angle BAC = 2 \cdot \angle BAH = 2 \cdot \frac{\alpha}{2} = \alpha$.

Все условия задачи выполнены. Построение верное. Задача имеет единственное решение при $\alpha \in (0, 180^\circ)$ и $S>0$.

Ответ: Задача решена путем сведения к построению отрезков по их сумме и отношению. Отношение находится из тригонометрического соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной основания и боковой стороной. Подробный алгоритм построения и доказательство приведены выше.