Номер 890, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 890, страница 220.

890 Прямая m, не проходящая через вершины треугольника АВС, пересекает его стороны АВ и ВС, а также продолжение стороны АС соответственно в точках С₁, А₁ и В₁. Докажите, что верно равенство: AC₁C₁B • BA₁A₁C • CB₁B₁A = 1 (теорема Менелая).

Для доказательства данного равенства, известного как теорема Менелая, воспользуемся методом подобных треугольников. Согласно условию, у нас есть треугольник $ABC$ и прямая $m$, которая пересекает его стороны $AB$ и $BC$ в точках $C_1$ и $A_1$ соответственно, а продолжение стороны $AC$ — в точке $B_1$.

Проведем из вершин треугольника $A$, $B$ и $C$ перпендикуляры к прямой $m$. Обозначим длины этих перпендикуляров как $h_A$, $h_B$ и $h_C$, а их основания на прямой $m$ — как точки $P_A$, $P_B$ и $P_C$ соответственно.

1. Рассмотрим пару прямоугольных треугольников $\triangle AP_A C_1$ и $\triangle BP_B C_1$. У них есть общая вершина $C_1$.

• $\angle AP_A C_1 = \angle BP_B C_1 = 90^\circ$ по построению.
• $\angle AC_1 P_A = \angle BC_1 P_B$ как вертикальные углы.

Следовательно, треугольники $\triangle AP_A C_1$ и $\triangle BP_B C_1$ подобны по двум углам (острому углу). Из подобия следует отношение соответствующих сторон: $ \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{h_A}{h_B} $

2. Рассмотрим вторую пару прямоугольных треугольников $\triangle BP_B A_1$ и $\triangle CP_C A_1$. У них общая вершина $A_1$.

• $\angle BP_B A_1 = \angle CP_C A_1 = 90^\circ$ по построению.
• $\angle BA_1 P_B = \angle CA_1 P_C$ как вертикальные углы.

Следовательно, треугольники $\triangle BP_B A_1$ и $\triangle CP_C A_1$ также подобны по двум углам. Из их подобия получаем: $ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{h_B}{h_C} $

3. Наконец, рассмотрим третью пару прямоугольных треугольников $\triangle AP_A B_1$ и $\triangle CP_C B_1$. Точка $B_1$ является общей для обоих.

• $\angle AP_A B_1 = \angle CP_C B_1 = 90^\circ$ по построению.
• $\angle B_1$ является общим для обоих треугольников.

Следовательно, треугольники $\triangle AP_A B_1$ и $\triangle CP_C B_1$ подобны по двум углам. Из их подобия следует: $ \frac{B_1A}{CB_1} = \frac{h_A}{h_C} $ Перевернув дробь, получим отношение в том виде, в котором оно присутствует в доказываемом равенстве: $ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{h_C}{h_A} $

Теперь перемножим левые и правые части трех полученных пропорций: $ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{h_A}{h_B} \cdot \frac{h_B}{h_C} \cdot \frac{h_C}{h_A} $

В правой части произведения все величины ($h_A, h_B, h_C$) сокращаются: $ \frac{h_A}{h_B} \cdot \frac{h_B}{h_C} \cdot \frac{h_C}{h_A} = \frac{h_A \cdot h_B \cdot h_C}{h_B \cdot h_C \cdot h_A} = 1 $

Таким образом, мы доказали, что $\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$ доказано.