Номер 897, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 897, страница 221.

Условие.

897 Докажите, что каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон, противолежащих вершинам $A$, $B$, $C$, как $a$, $b$ и $c$ соответственно. Таким образом, $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Пусть $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ — биссектрисы углов $A$, $B$, $C$, а точка $I$ — точка их пересечения.

Требуется доказать, что биссектриса, проведенная из некоторой вершины, делится точкой $I$ в отношении суммы прилежащих к этой вершине сторон к стороне, противолежащей вершине. Например, для биссектрисы $AA_1$ необходимо доказать, что выполняется следующее соотношение: $$ \frac{AI}{IA_1} = \frac{AB + AC}{BC} = \frac{c + b}{a} $$

Доказательство:

Докажем утверждение для биссектрисы $AA_1$. Для остальных биссектрис доказательство будет полностью аналогичным.

1. Сначала применим свойство биссектрисы к треугольнику $ABC$. Биссектриса $AA_1$ делит противолежащую сторону $BC$ на отрезки $BA_1$ и $A_1C$, которые пропорциональны прилежащим сторонам $AB$ и $AC$: $$ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} $$ Поскольку $BA_1 + A_1C = BC = a$, мы можем выразить длину отрезка $BA_1$. Из пропорции следует, что $A_1C = BA_1 \cdot \frac{b}{c}$. Подставим это в сумму: $$ BA_1 + BA_1 \cdot \frac{b}{c} = a $$ Вынесем $BA_1$ за скобки: $$ BA_1 \left(1 + \frac{b}{c}\right) = a \implies BA_1 \left(\frac{c+b}{c}\right) = a $$ Отсюда получаем: $$ BA_1 = \frac{ac}{b+c} $$

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABA_1$. Отрезок $BI$ является биссектрисой угла $B$ в этом треугольнике, так как точка $I$ лежит на биссектрисе $BB_1$. Снова применим свойство биссектрисы, но уже для треугольника $ABA_1$. Биссектриса $BI$ делит сторону $AA_1$ на отрезки $AI$ и $IA_1$ пропорционально прилежащим сторонам $AB$ и $BA_1$: $$ \frac{AI}{IA_1} = \frac{AB}{BA_1} $$

3. В полученное соотношение подставим известные нам значения: $AB = c$ и найденное на первом шаге выражение для $BA_1 = \frac{ac}{b+c}$: $$ \frac{AI}{IA_1} = \frac{c}{\frac{ac}{b+c}} $$ Упростим полученную дробь: $$ \frac{AI}{IA_1} = c \cdot \frac{b+c}{ac} = \frac{b+c}{a} $$

Таким образом, мы доказали, что $\frac{AI}{IA_1} = \frac{AC+AB}{BC}$. Это и есть требуемое соотношение для биссектрисы $AA_1$.

Аналогичные рассуждения для биссектрис $BB_1$ и $CC_1$ приводят к результатам: $$ \frac{BI}{IB_1} = \frac{BA+BC}{AC} = \frac{c+a}{b} $$ $$ \frac{CI}{IC_1} = \frac{CA+CB}{AB} = \frac{b+a}{c} $$ Следовательно, утверждение верно для каждой биссектрисы треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.