Номер 901, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 901, страница 221.

901 Прямая АС — касательная к окружности с центром O₁, а прямая BD — касательная к окружности с центром О₂ (рис. 276). Докажите, что:

a) AD || BC;

б) AB² = AD • BC;

в) BD² : AC² = AD : BC.

а)

Рассмотрим первую окружность (с центром $O_1$), которая проходит через точки A, B, D. Прямая AC является касательной к этой окружности в точке A. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной AC и хордой AB равен вписанному углу, который опирается на дугу AB. Следовательно, $\angle BAC = \angle ADB$.

Теперь рассмотрим вторую окружность (с центром $O_2$), которая проходит через точки A, B, C. Прямая BD является касательной к этой окружности в точке B. По той же теореме, угол между касательной BD и хордой BC равен вписанному углу, который опирается на дугу BC. Следовательно, $\angle CBD = \angle BAC$.

Сопоставляя два полученных равенства, имеем: $\angle ADB = \angle BAC$ и $\angle CBD = \angle BAC$. Отсюда следует, что $\angle ADB = \angle CBD$.

Углы $\angle ADB$ и $\angle CBD$ являются накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей BD. Так как эти углы равны, то прямые AD и BC параллельны.

Ответ: Доказано, что $AD \parallel BC$.

б)

Рассмотрим треугольники $\triangle DBA$ и $\triangle ACB$. Найдем их равные углы, используя теорему об угле между касательной и хордой.

1. Для первой окружности (с точками A, B, D) и касательной AC в точке A, угол между касательной и хордой AB равен углу в alternate segment: $\angle BAC = \angle BDA$.

2. Для второй окружности (с точками A, B, C) и касательной BD в точке B, угол между касательной и хордой AB равен углу в alternate segment: $\angle ABD = \angle ACB$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle DBA$ и $\triangle ACB$ есть две пары равных углов:

$\angle BDA = \angle BAC$ (или $\angle CAB$)

$\angle DBA = \angle ACB$

Следовательно, треугольники подобны по двум углам (признак AA). Соответствие вершин: D↔A, B↔C, A↔B. Итак, $\triangle DBA \sim \triangle ACB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{DB}{AC} = \frac{BA}{CB} = \frac{DA}{AB}$

Рассмотрим второе и третье отношения в этой пропорции: $\frac{BA}{CB} = \frac{DA}{AB}$.

Из этого равенства, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$BA \cdot AB = CB \cdot DA$

$AB^2 = AD \cdot BC$

Ответ: Доказано, что $AB^2 = AD \cdot BC$.

в)

Воспользуемся пропорцией, полученной в пункте б) из подобия треугольников $\triangle DBA \sim \triangle ACB$:

$\frac{DB}{AC} = \frac{BA}{CB} = \frac{DA}{AB}$

Из равенства первого и третьего отношений, $\frac{DB}{AC} = \frac{DA}{AB}$, выразим сторону $AB$:

$AB = \frac{AC \cdot DA}{DB}$

Теперь из равенства первого и второго отношений, $\frac{DB}{AC} = \frac{BA}{CB}$, также выразим сторону $AB$:

$AB = \frac{DB \cdot CB}{AC}$

Приравняем два полученных выражения для $AB$:

$\frac{AC \cdot DA}{DB} = \frac{DB \cdot CB}{AC}$

Умножим обе части равенства на $DB \cdot AC$ (так как длины отрезков не равны нулю):

$(AC \cdot DA) \cdot AC = (DB \cdot CB) \cdot DB$

$AC^2 \cdot AD = DB^2 \cdot BC$

Разделим обе части на $AC^2 \cdot BC$:

$\frac{AD}{BC} = \frac{DB^2}{AC^2}$

Это равенство можно записать в виде пропорции $BD^2 : AC^2 = AD : BC$.

Ответ: Доказано, что $BD^2 : AC^2 = AD : BC$.