Номер 906, страница 222 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 906, страница 222.

906 Отрезок AB является диаметром окружности с центром О. На каждом радиусе OM окружности отложен от центра О отрезок, равный расстоянию от конца М этого радиуса до прямой AB. Найдите множество концов построенных таким образом отрезков.

Решение:

Введем декартову систему координат. Пусть центр окружности $O$ совпадает с началом координат $(0, 0)$, а диаметр $AB$ лежит на оси $Ox$. Тогда уравнение прямой $AB$ — это $y=0$. Пусть радиус исходной окружности равен $R$. Уравнение этой окружности: $x^2 + y^2 = R^2$.

Рассмотрим произвольную точку $M$ на окружности. Пусть ее координаты $(x_M, y_M)$. Расстояние от точки $M(x_M, y_M)$ до прямой $AB$ (оси $Ox$) равно модулю ее ординаты, то есть $d = |y_M|$.

По условию, на каждом радиусе $OM$ от центра $O$ откладывается отрезок $OP$, длина которого равна $d$. Таким образом, для точки $P$, являющейся концом такого отрезка, ее расстояние до центра $O$ равно $OP = d = |y_M|$.

Для нахождения множества всех таких точек $P$ удобнее использовать полярную систему координат, где центр $O$ является полюсом, а луч $OA$ — полярной осью. Точка $M$ на окружности радиуса $R$ имеет полярные координаты $(R, \alpha)$, где $\alpha$ — полярный угол. Ее декартовы координаты связаны с полярными как $x_M = R \cos\alpha$ и $y_M = R \sin\alpha$.

Тогда расстояние от $M$ до прямой $AB$ (оси $Ox$) равно $d = |y_M| = |R \sin\alpha|$.

Точка $P$ лежит на радиусе $OM$, следовательно, ее полярный угол также равен $\alpha$. Ее расстояние от полюса $O$ (полярный радиус $\rho$) равно $OP$. По условию $OP = d$, следовательно, полярное уравнение искомого множества точек $P$ имеет вид:

$\rho = R |\sin\alpha|$

Рассмотрим два случая:

1. Точка $M$ находится в верхней полуплоскости ($y_M \ge 0$). Тогда $0 \le \alpha \le \pi$, и $\sin\alpha \ge 0$. Уравнение принимает вид $\rho = R \sin\alpha$.Чтобы определить форму этой кривой, перейдем к декартовым координатам, используя формулы $\rho^2 = x^2 + y^2$ и $y = \rho \sin\alpha$.Умножим уравнение $\rho = R \sin\alpha$ на $\rho$:$\rho^2 = R (\rho \sin\alpha)$$x^2 + y^2 = Ry$$x^2 + y^2 - Ry = 0$Выделим полный квадрат для переменной $y$:$x^2 + (y^2 - Ry + (\frac{R}{2})^2) - (\frac{R}{2})^2 = 0$$x^2 + (y - \frac{R}{2})^2 = (\frac{R}{2})^2$Это уравнение окружности с центром в точке $(0, R/2)$ и радиусом $R/2$.

2. Точка $M$ находится в нижней полуплоскости ($y_M < 0$). Тогда $\pi < \alpha < 2\pi$, и $\sin\alpha < 0$. Уравнение принимает вид $\rho = -R \sin\alpha$.Аналогично перейдем к декартовым координатам:$\rho^2 = -R (\rho \sin\alpha)$$x^2 + y^2 = -Ry$$x^2 + y^2 + Ry = 0$$x^2 + (y^2 + Ry + (\frac{R}{2})^2) - (\frac{R}{2})^2 = 0$$x^2 + (y + \frac{R}{2})^2 = (\frac{R}{2})^2$Это уравнение окружности с центром в точке $(0, -R/2)$ и радиусом $R/2$.

Таким образом, искомое множество точек состоит из двух окружностей. Обе окружности касаются диаметра $AB$ в центре исходной окружности $O$. Центры этих окружностей лежат на радиусе, перпендикулярном диаметру $AB$, на расстоянии $R/2$ от $O$, по одному в каждой полуплоскости относительно прямой $AB$. Диаметр каждой из этих двух окружностей равен радиусу $R$ исходной окружности.

Ответ: Искомое множество точек — это две окружности, которые касаются друг друга в центре $O$ исходной окружности и касаются прямой $AB$ в этой же точке. Диаметр каждой из этих окружностей равен радиусу исходной окружности и лежит на прямой, проходящей через центр $O$ перпендикулярно диаметру $AB$.