Номер 912, страница 222 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 912, страница 222.

Условие.

912 Произвольная точка X окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что один из отрезков АХ, ВХ и СХ равен сумме двух других отрезков.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 11.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ и описанная около него окружность. Пусть $a$ — длина стороны этого треугольника, то есть $AB = BC = CA = a$. Пусть $X$ — произвольная точка на этой окружности.

Точки $A, B, C$ и $X$ лежат на одной окружности, следовательно, они являются вершинами вписанного в эту окружность четырехугольника. Для доказательства воспользуемся теоремой Птолемея, которая гласит, что для любого вписанного четырехугольника произведение длин его диагоналей равно сумме произведений длин его противоположных сторон.

Рассмотрим возможные положения точки $X$ на окружности. Точка $X$ может лежать на одной из трех дуг: $AB$, $BC$ или $CA$.

Случай 1: Точка X лежит на дуге BC, не содержащей вершину A.

В этом случае вершины на окружности располагаются в последовательности $A, B, X, C$ (или $A, C, X, B$). Рассмотрим вписанный четырехугольник $ABXC$.
Его стороны: $AB$, $BX$, $XC$, $CA$.
Пары противоположных сторон: ($AB$ и $XC$), ($BX$ и $AC$).
Диагонали: $AX$ и $BC$.

Согласно теореме Птолемея для четырехугольника $ABXC$:
$AX \cdot BC = AB \cdot XC + AC \cdot BX$

Поскольку треугольник $ABC$ — равносторонний, мы знаем, что $AB = BC = CA = a$. Подставим эти значения в уравнение:
$AX \cdot a = a \cdot XC + a \cdot BX$

Разделим обе части равенства на $a$ (так как $a > 0$):
$AX = XC + BX$

Таким образом, в этом случае один из отрезков ($AX$) равен сумме двух других ($BX$ и $CX$).

Случай 2: Точка X лежит на дуге AC, не содержащей вершину B.

В этом случае рассмотрим вписанный четырехугольник $AXBC$.
Пары противоположных сторон: ($AX$ и $BC$), ($XB$ и $AC$).
Диагонали: $AB$ и $XC$.
По теореме Птолемея: $AB \cdot XC = AX \cdot BC + XB \cdot AC$.
Подставляя $a$, получаем: $a \cdot XC = AX \cdot a + XB \cdot a$.
Разделив на $a$, имеем: $XC = AX + XB$.

Случай 3: Точка X лежит на дуге AB, не содержащей вершину C.

В этом случае рассмотрим вписанный четырехугольник $AXCB$.
Пары противоположных сторон: ($AX$ и $CB$), ($XC$ и $AB$).
Диагонали: $AC$ и $XB$.
По теореме Птолемея: $AC \cdot XB = AX \cdot CB + XC \cdot AB$.
Подставляя $a$, получаем: $a \cdot XB = AX \cdot a + XC \cdot a$.
Разделив на $a$, имеем: $XB = AX + XC$.

Во всех возможных случаях мы доказали, что один из отрезков, соединяющих точку $X$ с вершинами треугольника, равен сумме двух других отрезков. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.