Номер 907, страница 222 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

907 Внутри угла ABC равностороннего треугольника ABC взята точка М так, что ∠BMC = 30°, ∠BMA = 17°. Найдите углы ВАМ и ВСМ.

Для начала проанализируем условие задачи. Дан равносторонний треугольник $ABC$, а значит, все его стороны равны ($AB = BC = CA$) и все углы равны $60^{\circ}$ ($\angle ABC = \angle BCA = \angle CAB = 60^{\circ}$). Точка $M$ находится внутри угла $ABC$.

Сначала предположим, что точка $M$ находится внутри треугольника $ABC$. Рассмотрим треугольники $\triangle BMA$ и $\triangle BMC$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$.

В $\triangle BMA$: $\angle BAM + \angle ABM + \angle BMA = 180^{\circ}$. С учетом того, что $\angle BMA = 17^{\circ}$, получаем $\angle BAM + \angle ABM = 180^{\circ} - 17^{\circ} = 163^{\circ}$.

Однако, если точка $M$ находится внутри треугольника $ABC$, то $\angle ABM$ является частью угла $\angle ABC$, а $\angle BAM$ — частью угла $\angle BAC$. Следовательно, $\angle ABM < 60^{\circ}$ и $\angle BAM < 60^{\circ}$. Их сумма должна быть меньше $120^{\circ}$. Полученное нами значение $163^{\circ}$ противоречит этому ($\angle BAM + \angle ABM < 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$).

Это противоречие означает, что наше предположение было неверным. Точка $M$ не может находиться внутри треугольника $ABC$. Согласно условию, она находится "внутри угла $ABC$", что означает, что она расположена в области между лучами $BA$ и $BC$, но вне самого треугольника, то есть по другую сторону от прямой $AC$.

Для решения задачи применим метод поворота. Выполним поворот треугольника $\triangle CBM$ вокруг точки $B$ на $60^{\circ}$ по часовой стрелке. При таком повороте: вершина $C$ перейдет в вершину $A$ (так как $BC = BA$ и $\angle CBA = 60^{\circ}$), вершина $B$ останется на месте, а вершина $M$ перейдет в некоторую точку $M'$.

В результате поворота $\triangle CBM$ перейдет в равный ему треугольник $\triangle ABM'$. Из равенства треугольников следует: $CM = AM'$, $BM = BM'$, $\angle BMC = \angle BM'A = 30^{\circ}$, и $\angle BCM = \angle BAM'$.

Так как поворот был на угол $60^{\circ}$, то $\angle MBM' = 60^{\circ}$. Треугольник $\triangle MBM'$ является равнобедренным ($BM = BM'$) с углом при вершине $60^{\circ}$, следовательно, он равносторонний. Отсюда $MM' = BM$ и $\angle BM'M = 60^{\circ}$.

Теперь рассмотрим углы при точке $M'$. Мы знаем, что $\angle BM'A = 30^{\circ}$ и $\angle BM'M = 60^{\circ}$. Угол $\angle AM'M$ будет равен разности этих углов:$\angle AM'M = \angle BM'M - \angle BM'A = 60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$.

Далее воспользуемся теоремой косинусов. Пусть сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$.Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle CMB$:$BC^2 = CM^2 + BM^2 - 2 \cdot CM \cdot BM \cdot \cos(\angle CMB)$$a^2 = CM^2 + BM^2 - 2 \cdot CM \cdot BM \cdot \cos(30^{\circ}) = CM^2 + BM^2 - \sqrt{3} \cdot CM \cdot BM$.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle AM'M$:$AM^2 = AM'^2 + MM'^2 - 2 \cdot AM' \cdot MM' \cdot \cos(\angle AM'M)$.Учитывая, что из свойств поворота $AM' = CM$ и $MM' = BM$, а также $\angle AM'M = 30^{\circ}$, получаем:$AM^2 = CM^2 + BM^2 - 2 \cdot CM \cdot BM \cdot \cos(30^{\circ}) = CM^2 + BM^2 - \sqrt{3} \cdot CM \cdot BM$.

Сравнивая выражения для $a^2$ и $AM^2$, мы видим, что они идентичны. Следовательно, $AM^2 = a^2$, что означает $AM = a$.

Теперь, когда мы знаем, что $AM = a$, рассмотрим треугольник $\triangle ABM$. В нем $AB = a$ (как сторона равностороннего треугольника) и $AM = a$. Значит, $\triangle ABM$ — равнобедренный треугольник с основанием $BM$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle ABM = \angle AMB$. По условию $\angle BMA = 17^{\circ}$ (что то же самое, что $\angle AMB$), следовательно, $\angle ABM = 17^{\circ}$.Сумма углов в $\triangle ABM$ равна $180^{\circ}$, поэтому искомый угол $\angle BAM$ равен:$\angle BAM = 180^{\circ} - (\angle ABM + \angle AMB) = 180^{\circ} - (17^{\circ} + 17^{\circ}) = 180^{\circ} - 34^{\circ} = 146^{\circ}$.

Для нахождения угла $\angle BCM$ сначала найдем угол $\angle CBM$. Мы знаем, что $\angle ABC = 60^{\circ}$ и он состоит из углов $\angle ABM$ и $\angle CBM$.$\angle CBM = \angle ABC - \angle ABM = 60^{\circ} - 17^{\circ} = 43^{\circ}$.Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CBM$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$:$\angle BCM + \angle CBM + \angle BMC = 180^{\circ}$.Подставляем известные значения $\angle CBM = 43^{\circ}$ и $\angle BMC = 30^{\circ}$:$\angle BCM + 43^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ}$$\angle BCM + 73^{\circ} = 180^{\circ}$$\angle BCM = 180^{\circ} - 73^{\circ} = 107^{\circ}$.

Ответ: $\angle BAM = 146^{\circ}$, $\angle BCM = 107^{\circ}$.