Номер 903, страница 222 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 903, страница 222.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№903 (с. 222)
Условие. №903 (с. 222)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 222, номер 903, Условие

903 Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.

Решение 2. №903 (с. 222)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 222, номер 903, Решение 2
Решение 3. №903 (с. 222)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 222, номер 903, Решение 3 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 222, номер 903, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 4. №903 (с. 222)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 222, номер 903, Решение 4
Решение 11. №903 (с. 222)

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Две прямые, назовем их $l_1$ и $l_2$, пересекаются в точке $P$, не лежащей на окружности. Прямая $l_1$ пересекает окружность в точках $A$ и $B$, образуя хорду $AB$. Прямая $l_2$ пересекает окружность в точках $C$ и $D$, образуя хорду $CD$. По условию задачи, длины этих хорд равны: $AB = CD$.

Требуется доказать, что расстояния от точки $P$ до концов хорды $AB$ соответственно равны расстояниям от точки $P$ до концов хорды $CD$. То есть, если мы упорядочим расстояния по возрастанию, то меньшее расстояние до хорды $AB$ равно меньшему расстоянию до хорды $CD$, а большее — большему. Формально, нужно доказать, что множество расстояний $\{PA, PB\}$ равно множеству $\{PC, PD\}$.

Доказательство:

1. Воспользуемся свойством окружности: равные хорды равноудалены от центра окружности. Проведем из центра $O$ перпендикуляры к нашим хордам. Пусть $OK$ — перпендикуляр к хорде $AB$ (точка $K$ лежит на $AB$), а $OM$ — перпендикуляр к хорде $CD$ (точка $M$ лежит на $CD$). Так как $AB = CD$, то расстояния от центра до этих хорд равны, то есть $OK = OM$.

2. Рассмотрим еще одно свойство: перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой хорды $AB$, а точка $M$ — серединой хорды $CD$. Это означает, что $AK = KB = \frac{1}{2}AB$ и $CM = MD = \frac{1}{2}CD$. Поскольку $AB = CD$, то и их половины равны: $AK = KB = CM = MD$.

3. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle POK$ и $\triangle POM$.

  • У них общая гипотенуза $PO$.
  • Катеты $OK$ и $OM$ равны, как мы установили в пункте 1.

Следовательно, треугольники $\triangle POK$ и $\triangle POM$ равны по гипотенузе и катету.

4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, а именно $PK = PM$.

5. Теперь найдем искомые расстояния. Расстояния от точки $P$ до концов хорды $AB$ — это длины отрезков $PA$ и $PB$. Расстояния от точки $P$ до концов хорды $CD$ — это $PC$ и $PD$. Рассмотрим два возможных случая расположения точки $P$.

Случай 1: Точка $P$ находится вне окружности.
Тогда точки на прямых расположены, например, в следующем порядке: $P-A-K-B$ и $P-C-M-D$. Расстояния вычисляются так: $PA = PK - AK$ $PB = PK + KB$ $PC = PM - CM$ $PD = PM + MD$ Так как мы доказали, что $PK = PM$ и $AK = CM$, то $PA = PK - AK = PM - CM = PC$. Так как $PK = PM$ и $KB = MD$, то $PB = PK + KB = PM + MD = PD$. Таким образом, $PA = PC$ и $PB = PD$.

Случай 2: Точка $P$ находится внутри окружности.
Тогда точки на прямых расположены, например, в следующем порядке: $A-P-K-B$ и $C-P-M-D$. Расстояния вычисляются так: $PA = AK - PK$ $PB = PK + KB$ $PC = CM - PM$ $PD = PM + MD$ Из равенств $PK=PM$, $AK=CM$ и $KB=MD$ следует, что: $PA = AK - PK = CM - PM = PC$. $PB = PK + KB = PM + MD = PD$. Таким образом, и в этом случае $PA = PC$ и $PB = PD$.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что расстояния от точки пересечения прямых до концов одной хорды соответственно равны расстояниям до концов другой хорды.

Ответ: Утверждение доказано. Расстояния от точки пересечения прямых до концов первой хорды равны соответственно расстояниям до концов второй хорды.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 903 расположенного на странице 222 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №903 (с. 222), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться