Номер 903, страница 222 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 903, страница 222.
№903 (с. 222)
Условие. №903 (с. 222)
скриншот условия

903 Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорды соответственно равны между собой.
Решение 2. №903 (с. 222)

Решение 3. №903 (с. 222)


Решение 4. №903 (с. 222)

Решение 11. №903 (с. 222)
Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Две прямые, назовем их $l_1$ и $l_2$, пересекаются в точке $P$, не лежащей на окружности. Прямая $l_1$ пересекает окружность в точках $A$ и $B$, образуя хорду $AB$. Прямая $l_2$ пересекает окружность в точках $C$ и $D$, образуя хорду $CD$. По условию задачи, длины этих хорд равны: $AB = CD$.
Требуется доказать, что расстояния от точки $P$ до концов хорды $AB$ соответственно равны расстояниям от точки $P$ до концов хорды $CD$. То есть, если мы упорядочим расстояния по возрастанию, то меньшее расстояние до хорды $AB$ равно меньшему расстоянию до хорды $CD$, а большее — большему. Формально, нужно доказать, что множество расстояний $\{PA, PB\}$ равно множеству $\{PC, PD\}$.
Доказательство:
1. Воспользуемся свойством окружности: равные хорды равноудалены от центра окружности. Проведем из центра $O$ перпендикуляры к нашим хордам. Пусть $OK$ — перпендикуляр к хорде $AB$ (точка $K$ лежит на $AB$), а $OM$ — перпендикуляр к хорде $CD$ (точка $M$ лежит на $CD$). Так как $AB = CD$, то расстояния от центра до этих хорд равны, то есть $OK = OM$.
2. Рассмотрим еще одно свойство: перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой хорды $AB$, а точка $M$ — серединой хорды $CD$. Это означает, что $AK = KB = \frac{1}{2}AB$ и $CM = MD = \frac{1}{2}CD$. Поскольку $AB = CD$, то и их половины равны: $AK = KB = CM = MD$.
3. Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle POK$ и $\triangle POM$.
- У них общая гипотенуза $PO$.
- Катеты $OK$ и $OM$ равны, как мы установили в пункте 1.
Следовательно, треугольники $\triangle POK$ и $\triangle POM$ равны по гипотенузе и катету.
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, а именно $PK = PM$.
5. Теперь найдем искомые расстояния. Расстояния от точки $P$ до концов хорды $AB$ — это длины отрезков $PA$ и $PB$. Расстояния от точки $P$ до концов хорды $CD$ — это $PC$ и $PD$. Рассмотрим два возможных случая расположения точки $P$.
Случай 1: Точка $P$ находится вне окружности.
Тогда точки на прямых расположены, например, в следующем порядке: $P-A-K-B$ и $P-C-M-D$. Расстояния вычисляются так: $PA = PK - AK$ $PB = PK + KB$ $PC = PM - CM$ $PD = PM + MD$ Так как мы доказали, что $PK = PM$ и $AK = CM$, то $PA = PK - AK = PM - CM = PC$. Так как $PK = PM$ и $KB = MD$, то $PB = PK + KB = PM + MD = PD$. Таким образом, $PA = PC$ и $PB = PD$.
Случай 2: Точка $P$ находится внутри окружности.
Тогда точки на прямых расположены, например, в следующем порядке: $A-P-K-B$ и $C-P-M-D$. Расстояния вычисляются так: $PA = AK - PK$ $PB = PK + KB$ $PC = CM - PM$ $PD = PM + MD$ Из равенств $PK=PM$, $AK=CM$ и $KB=MD$ следует, что: $PA = AK - PK = CM - PM = PC$. $PB = PK + KB = PM + MD = PD$. Таким образом, и в этом случае $PA = PC$ и $PB = PD$.
В обоих случаях мы приходим к выводу, что расстояния от точки пересечения прямых до концов одной хорды соответственно равны расстояниям до концов другой хорды.
Ответ: Утверждение доказано. Расстояния от точки пересечения прямых до концов первой хорды равны соответственно расстояниям до концов второй хорды.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 903 расположенного на странице 222 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №903 (с. 222), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.