Номер 902, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 9 - номер 902, страница 221.

Условие.

902 Точки B₁ и C₁ — середины дуг AB и АС (рис. 277). Докажите, что AM=AN.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 11.

Для доказательства равенства $AM = AN$ в треугольнике $AMN$ достаточно доказать, что этот треугольник является равнобедренным с основанием $MN$. Это, в свою очередь, равносильно доказательству равенства углов при основании: $\angle AMN = \angle ANM$.

Для нахождения величин этих углов воспользуемся теоремой об угле между двумя пересекающимися хордами. Согласно этой теореме, мера угла, образованного двумя пересекающимися хордами, равна половине суммы мер дуг, заключенных между сторонами этого угла и сторонами вертикального ему угла.

Угол $\angle AMN$ образован пересечением хорд $AB$ и $B_1C_1$ в точке $M$. На чертеже видно, что угол $\angle AMN$ и угол $\angle AMC_1$ совпадают, а вертикальным к нему является угол $\angle BMB_1$. Следовательно, его мера выражается как:$ \angle AMN = \frac{1}{2} (m(\stackrel{\frown}{AC_1}) + m(\stackrel{\frown}{BB_1})) $

Аналогично, угол $\angle ANM$ образован пересечением хорд $AC$ и $B_1C_1$ в точке $N$. Угол $\angle ANM$ совпадает с углом $\angle ANB_1$, а вертикальным к нему является угол $\angle CNC_1$. Его мера выражается как:$ \angle ANM = \frac{1}{2} (m(\stackrel{\frown}{AB_1}) + m(\stackrel{\frown}{CC_1})) $

По условию задачи, точка $B_1$ — середина дуги $AB$, а точка $C_1$ — середина дуги $AC$. Это означает, что меры соответствующих дуг равны:$ m(\stackrel{\frown}{AB_1}) = m(\stackrel{\frown}{BB_1}) $$ m(\stackrel{\frown}{AC_1}) = m(\stackrel{\frown}{CC_1}) $

Подставим эти равенства в выражение для угла $\angle ANM$:$ \angle ANM = \frac{1}{2} (m(\stackrel{\frown}{AB_1}) + m(\stackrel{\frown}{CC_1})) = \frac{1}{2} (m(\stackrel{\frown}{BB_1}) + m(\stackrel{\frown}{AC_1})) $

Теперь сравним полученные выражения для углов $\angle AMN$ и $\angle ANM$:$ \angle AMN = \frac{1}{2} (m(\stackrel{\frown}{AC_1}) + m(\stackrel{\frown}{BB_1})) $$ \angle ANM = \frac{1}{2} (m(\stackrel{\frown}{BB_1}) + m(\stackrel{\frown}{AC_1})) $Из чего следует, что $\angle AMN = \angle ANM$.

Так как в треугольнике $AMN$ углы при основании $MN$ равны, то этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AM = AN$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM = AN$ доказано.