Номер 902, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Задачи к главе 9. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 902, страница 221.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№902 (с. 221)
Условие. №902 (с. 221)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 221, номер 902, Условие

902 Точки B₁ и C₁ — середины дуг AB и АС (рис. 277). Докажите, что AM=AN.

Рисунок 277
Решение 2. №902 (с. 221)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 221, номер 902, Решение 2
Решение 3. №902 (с. 221)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 221, номер 902, Решение 3
Решение 4. №902 (с. 221)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 221, номер 902, Решение 4
Решение 11. №902 (с. 221)

Для доказательства равенства $AM = AN$ в треугольнике $AMN$ достаточно доказать, что этот треугольник является равнобедренным с основанием $MN$. Это, в свою очередь, равносильно доказательству равенства углов при основании: $\angle AMN = \angle ANM$.

Для нахождения величин этих углов воспользуемся теоремой об угле между двумя пересекающимися хордами. Согласно этой теореме, мера угла, образованного двумя пересекающимися хордами, равна половине суммы мер дуг, заключенных между сторонами этого угла и сторонами вертикального ему угла.

Угол $\angle AMN$ образован пересечением хорд $AB$ и $B_1C_1$ в точке $M$. На чертеже видно, что угол $\angle AMN$ и угол $\angle AMC_1$ совпадают, а вертикальным к нему является угол $\angle BMB_1$. Следовательно, его мера выражается как:$ \angle AMN = \frac{1}{2} (m(\stackrel{\frown}{AC_1}) + m(\stackrel{\frown}{BB_1})) $

Аналогично, угол $\angle ANM$ образован пересечением хорд $AC$ и $B_1C_1$ в точке $N$. Угол $\angle ANM$ совпадает с углом $\angle ANB_1$, а вертикальным к нему является угол $\angle CNC_1$. Его мера выражается как:$ \angle ANM = \frac{1}{2} (m(\stackrel{\frown}{AB_1}) + m(\stackrel{\frown}{CC_1})) $

По условию задачи, точка $B_1$ — середина дуги $AB$, а точка $C_1$ — середина дуги $AC$. Это означает, что меры соответствующих дуг равны:$ m(\stackrel{\frown}{AB_1}) = m(\stackrel{\frown}{BB_1}) $$ m(\stackrel{\frown}{AC_1}) = m(\stackrel{\frown}{CC_1}) $

Подставим эти равенства в выражение для угла $\angle ANM$:$ \angle ANM = \frac{1}{2} (m(\stackrel{\frown}{AB_1}) + m(\stackrel{\frown}{CC_1})) = \frac{1}{2} (m(\stackrel{\frown}{BB_1}) + m(\stackrel{\frown}{AC_1})) $

Теперь сравним полученные выражения для углов $\angle AMN$ и $\angle ANM$:$ \angle AMN = \frac{1}{2} (m(\stackrel{\frown}{AC_1}) + m(\stackrel{\frown}{BB_1})) $$ \angle ANM = \frac{1}{2} (m(\stackrel{\frown}{BB_1}) + m(\stackrel{\frown}{AC_1})) $Из чего следует, что $\angle AMN = \angle ANM$.

Так как в треугольнике $AMN$ углы при основании $MN$ равны, то этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AM = AN$.Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM = AN$ доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 902 расположенного на странице 221 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №902 (с. 221), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться