Номер 895, страница 221 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 895, страница 221.

895 На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС внешним образом построены квадраты АСFK и BCDE, СН — высота треугольника АВС. Докажите, что прямые СН, ВK и АЕ пересекаются в одной точке.

Для доказательства того, что прямые CH, BK и AE пересекаются в одной точке, воспользуемся методом координат.

1. Введение системы координат и определение координат вершин.

Поместим прямоугольный треугольник ABC в декартову систему координат так, чтобы вершина прямого угла C совпала с началом координат (0, 0). Катет AC расположим на оси Ox, а катет BC — на оси Oy. Пусть длина катета AC равна a, а длина катета BC равна b. Тогда координаты вершин треугольника будут:

• C = (0, 0)
• A = (a, 0)
• B = (0, b)

2. Определение координат вершин квадратов.

Квадрат ACFK построен на катете AC внешним образом. Это означает, что он находится в полуплоскости, где $y \le 0$. Вершины этого квадрата: A(a, 0), C(0, 0). Так как AC лежит на оси Ox, сторона, выходящая из C и перпендикулярная AC, будет лежать на оси Oy. Координаты вершин F и K будут (0, -a) и (a, -a). Из названия ACFK и условия задачи (нам нужна прямая BK), определим координату точки K как K = (a, -a).

Квадрат BCDE построен на катете BC внешним образом. Он находится в полуплоскости, где $x \le 0$. Вершины этого квадрата: B(0, b), C(0, 0). Координаты вершин D и E будут (-b, 0) и (-b, b). Из названия BCDE и условия задачи (нам нужна прямая AE), определим координату точки E как E = (-b, b).

Итак, мы имеем координаты ключевых точек:

• A = (a, 0)
• B = (0, b)
• C = (0, 0)
• K = (a, -a)
• E = (-b, b)

3. Нахождение уравнений прямых.

Прямая CH:CH — высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB.Уравнение прямой AB, проходящей через точки A(a, 0) и B(0, b), имеет вид:$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, или $bx + ay = ab$.Угловой коэффициент прямой AB равен $m_{AB} = -\frac{b}{a}$.Прямая CH проходит через начало координат C(0, 0) и перпендикулярна прямой AB. Ее угловой коэффициент $m_{CH} = -\frac{1}{m_{AB}} = \frac{a}{b}$.Уравнение прямой CH: $y = \frac{a}{b}x$, или $ax - by = 0$.

Прямая AE:Эта прямая проходит через точки A(a, 0) и E(-b, b).Угловой коэффициент $m_{AE} = \frac{b - 0}{-b - a} = -\frac{b}{a+b}$.Уравнение прямой AE (используя точечно-угловой формат $y - y_1 = m(x - x_1)$ с точкой A):$y - 0 = -\frac{b}{a+b}(x - a)$$(a+b)y = -b(x-a)$$ay + by = -bx + ab$$bx + (a+b)y = ab$.

Прямая BK:Эта прямая проходит через точки B(0, b) и K(a, -a).Угловой коэффициент $m_{BK} = \frac{-a - b}{a - 0} = -\frac{a+b}{a}$.Уравнение прямой BK (используя точечно-угловой формат с точкой B):$y - b = -\frac{a+b}{a}(x - 0)$$a(y - b) = -(a+b)x$$ay - ab = -ax - bx$$(a+b)x + ay = ab$.

4. Нахождение точки пересечения прямых AE и BK.

Для нахождения точки пересечения решим систему уравнений для прямых AE и BK:$\begin{cases} bx + (a+b)y = ab \\ (a+b)x + ay = ab \end{cases}$Вычтем второе уравнение из первого:$(b - (a+b))x + ((a+b) - a)y = 0$$-ax + by = 0$, что эквивалентно $by = ax$.Подставим $y = \frac{a}{b}x$ в первое уравнение системы:$bx + (a+b)\frac{a}{b}x = ab$$b^2x + (a^2+ab)x = ab^2$$(b^2 + ab + a^2)x = ab^2$$x = \frac{ab^2}{a^2+ab+b^2}$Теперь найдем y:$y = \frac{a}{b}x = \frac{a}{b} \cdot \frac{ab^2}{a^2+ab+b^2} = \frac{a^2b}{a^2+ab+b^2}$Пусть точка пересечения P имеет координаты:$P = \left( \frac{ab^2}{a^2+ab+b^2}, \frac{a^2b}{a^2+ab+b^2} \right)$.

5. Проверка принадлежности точки пересечения прямой CH.

Проверим, лежит ли точка P на прямой CH, уравнение которой $ax - by = 0$.Подставим координаты точки P в это уравнение:$a \left( \frac{ab^2}{a^2+ab+b^2} \right) - b \left( \frac{a^2b}{a^2+ab+b^2} \right) = \frac{a^2b^2}{a^2+ab+b^2} - \frac{a^2b^2}{a^2+ab+b^2} = 0$.Равенство $0=0$ выполняется, следовательно, точка P лежит на прямой CH.

Поскольку точка пересечения прямых AE и BK также лежит на прямой CH, все три прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые CH, BK и AE пересекаются в одной точке.