Номер 888, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 888, страница 220.

888 Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон.

Анализ

Пусть искомая трапеция $ABCD$ построена. По условию, нам даны большее основание $AD=a$, боковая сторона $AB=c$, угол между ними $\angle{DAB}=\alpha$, и отношение двух других сторон $CD/BC = k$. Отношение $k$ можно представить в виде отношения двух данных отрезков $m$ и $n$, то есть $k=m/n$.

Мы можем построить три вершины трапеции — $A$, $B$ и $D$ — по двум сторонам ($a$ и $c$) и углу между ними ($\alpha$).

1. Строим отрезок $AD$ длиной $a$.
2. В точке $A$ откладываем угол, равный $\alpha$.
3. На второй стороне угла откладываем отрезок $AB$ длиной $c$.

Таким образом, точки $A$, $B$ и $D$ зафиксированы. Четвертая вершина $C$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Так как $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, то прямая $BC$ должна быть параллельна прямой $AD$. Следовательно, точка $C$ лежит на прямой, проходящей через точку $B$ параллельно $AD$.
2. Отношение расстояний от точки $C$ до известных точек $D$ и $B$ должно быть равно $k$, то есть $CD/CB = k$.

Геометрическое место точек (ГМТ), отношение расстояний от которых до двух данных точек (в нашем случае $B$ и $D$) постоянно и равно $k$, является окружностью, известной как окружность Аполлония. Если $k=1$, то это ГМТ — серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.

Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения прямой, параллельной $AD$ и проходящей через $B$, и окружности Аполлония для точек $B$, $D$ и отношения $k$.

Построение

1. На прямой отложим отрезок $AD$, равный данному отрезку $a$.
2. От луча $AD$ в точке $A$ построим угол, равный данному углу $\alpha$.
3. На стороне построенного угла отложим отрезок $AB$, равный данному отрезку $c$. Соединим точки $B$ и $D$.
4. Через точку $B$ проведем прямую $p$, параллельную прямой $AD$.
5. Далее построим ГМТ для вершины $C$.
   Случай 1: $k = 1$ (данные отрезки $m$ и $n$ равны). В этом случае $CD=BC$.
   1. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
   2. Точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $p$ и будет искомой вершиной $C$.
   Случай 2: $k \neq 1$ (отрезки $m$ и $n$ не равны). В этом случае ГМТ — окружность Аполлония.
   1. На прямой $BD$ найдем точку $P_1$, которая делит отрезок $BD$ внутренним образом в отношении $k=m/n$. Для этого из точки $B$ проведем произвольный луч, не лежащий на прямой $BD$, отложим на нем последовательно отрезки $BS'=n$ и $S'T'=m$. Соединим $D$ и $T'$. Через точку $S'$ проведем прямую, параллельную $DT'$. Ее точка пересечения с отрезком $BD$ есть точка $P_1$.
   2. На прямой $BD$ найдем точку $P_2$, которая делит отрезок $BD$ внешним образом в отношении $k=m/n$. Длина отрезка $BP_2$ равна $\frac{n \cdot BD}{|m-n|}$, а длина отрезка $DP_2$ равна $\frac{m \cdot BD}{|m-n|}$. Построим отрезок $|m-n|$. Затем, используя построение четвертого пропорционального отрезка, найдем длину, например, $BP_2$. Отложим этот отрезок на прямой $BD$ от точки $B$ (во внешнюю сторону от отрезка $BD$).
   3. Отрезок $P_1P_2$ является диаметром окружности Аполлония. Найдем его середину — центр $O_{Ap}$ — и построим окружность $\omega$ радиусом $R = O_{Ap}P_1$.
   4. Точки пересечения окружности $\omega$ с прямой $p$ являются возможными положениями вершины $C$.
6. Соединим точки $A, B, C, D$. Построенная фигура — искомая трапеция.

Доказательство

По построению, в четырехугольнике $ABCD$ сторона $AD=a$, сторона $AB=c$ и угол $\angle{DAB}=\alpha$. Прямая $BC$ проходит через точку $B$ и параллельна $AD$, так как мы строили прямую $p$ параллельно $AD$. Следовательно, $ABCD$ — трапеция с основаниями $AD$ и $BC$. Вершина $C$ была найдена как точка пересечения прямой $p$ и ГМТ, для всех точек $M$ которого выполняется условие $MD/MB=k$. Следовательно, для точки $C$ выполняется $CD/CB=k$. Таким образом, построенная трапеция удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача на построение может иметь разное количество решений в зависимости от исходных данных.

1. Построение точек $A, B, D$ всегда возможно и однозначно.
2. Построение прямой $p$ и окружности Аполлония (или серединного перпендикуляра) также всегда возможно и однозначно.
3. Число решений задачи определяется числом точек пересечения прямой $p$ и окружности Аполлония $\omega$ (или серединного перпендикуляра).
   • Если прямая $p$ и окружность $\omega$ не пересекаются, задача не имеет решений.
   • Если прямая $p$ касается окружности $\omega$, задача имеет одно решение.
   • Если прямая $p$ пересекает окружность $\omega$ в двух точках, задача имеет два решения.

Следовательно, задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

Ответ: Построение выполняется путем нахождения четвертой вершины трапеции как точки пересечения прямой, параллельной большему основанию, и окружности Аполлония, построенной для двух известных вершин и заданного отношения сторон.