Номер 886, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 886, страница 220.

886 Постройте треугольник ABC, если даны ∠A, ∠C и отрезок, равный сумме стороны АС и высоты ВН.

Данную задачу можно решить методом подобия. Идея состоит в том, чтобы сначала построить вспомогательный треугольник, подобный искомому, а затем, используя заданную сумму стороны и высоты, найти коэффициент подобия и построить искомый треугольник.

Анализ

Пусть $ABC$ — искомый треугольник, $BH$ — его высота, опущенная на сторону $AC$. Нам даны углы $\angle A$, $\angle C$ и отрезок $L$, такой что $L = AC + BH$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$. Из них мы можем выразить отрезки $AH$ и $CH$ через высоту $BH$ и углы $A$ и $C$:
В $\triangle ABH$: $\operatorname{ctg} A = \frac{AH}{BH}$, откуда $AH = BH \cdot \operatorname{ctg} A$.
В $\triangle CBH$: $\operatorname{ctg} C = \frac{CH}{BH}$, откуда $CH = BH \cdot \operatorname{ctg} C$.

Сторона $AC$ равна сумме отрезков $AH$ и $CH$ (если углы $A$ и $C$ острые; формула верна и для тупых углов, если рассматривать ориентированные отрезки).
$AC = AH + CH = BH \cdot \operatorname{ctg} A + BH \cdot \operatorname{ctg} C = BH (\operatorname{ctg} A + \operatorname{ctg} C)$.

Теперь подставим это выражение в данное нам условие $L = AC + BH$:
$L = BH (\operatorname{ctg} A + \operatorname{ctg} C) + BH = BH (1 + \operatorname{ctg} A + \operatorname{ctg} C)$.

Это уравнение связывает известные величины ($L, \angle A, \angle C$) с неизвестной высотой $BH$. Мы не можем вычислить $BH$ напрямую, но можем построить его геометрически.

Построим вспомогательный треугольник $A'B'C'$, подобный треугольнику $ABC$. Для этого выберем произвольную высоту $B'H'$, например, равную некоторому отрезку $h_0$. Тогда для этого треугольника сторона $A'C'$ будет равна $A'C' = B'H' (\operatorname{ctg} A + \operatorname{ctg} C) = h_0 (\operatorname{ctg} A + \operatorname{ctg} C)$.

Сумма стороны и высоты для вспомогательного треугольника будет равна:
$L' = A'C' + B'H' = h_0 (\operatorname{ctg} A + \operatorname{ctg} C) + h_0 = h_0 (1 + \operatorname{ctg} A + \operatorname{ctg} C)$.

Так как треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ подобны, отношение их соответствующих элементов равно коэффициенту подобия $k$:
$k = \frac{BH}{B'H'} = \frac{AC}{A'C'}$.

Это же отношение справедливо и для суммы стороны и высоты:
$k = \frac{AC + BH}{A'C' + B'H'} = \frac{L}{L'}$.

Из этого следует, что $\frac{BH}{B'H'} = \frac{L}{L'}$, откуда мы можем найти $BH$:
$BH = B'H' \cdot \frac{L}{L'} = h_0 \cdot \frac{L}{L'}$.

Это означает, что искомая высота $BH$ является четвертым пропорциональным отрезком к отрезкам $L'$, $L$ и $h_0$. Построив $BH$, мы легко можем построить и сам треугольник $ABC$.

Построение

1. Построение вспомогательного треугольника $A'B'C'$ и отрезка $L'$.
   1. Выберем произвольный отрезок $h_0$.
   2. Проведем прямую $m$ и выберем на ней точку $H'$.
   3. Восставим перпендикуляр к прямой $m$ в точке $H'$ и отложим на нем отрезок $B'H' = h_0$.
   4. Построим на прямой $m$ точки $A'$ и $C'$ так, чтобы $\angle B'A'H' = \angle A$ и $\angle B'C'H' = \angle C$. Это можно сделать, построив в точке $B'$ углы $\angle A'B'H' = 90^\circ - \angle A$ и $\angle C'B'H' = 90^\circ - \angle C$. Лучи этих углов пересекут прямую $m$ в искомых точках $A'$ и $C'$. Мы получили вспомогательный треугольник $A'B'C'$.
   5. На луче $H'A'$ от точки $A'$ отложим отрезок $A'K'$, равный сумме $A'C' + B'H'$. Этот отрезок $A'K'$ и будет отрезком $L'$.
2. Построение высоты $BH$.
   1. Начертим произвольный угол с вершиной $O$.
   2. На одном луче угла отложим от вершины $O$ отрезки $OK' = L'$ и $OL = L$ (данный в условии).
   3. На другом луче отложим от вершины $O$ отрезок $OH_0 = h_0$.
   4. Соединим точки $K'$ и $H_0$.
   5. Проведем через точку $L$ прямую, параллельную отрезку $K'H_0$. Точка пересечения этой прямой со вторым лучом угла даст нам точку $H_B$.
   6. Отрезок $OH_B$ и будет искомой высотой $BH$. Согласно теореме о пропорциональных отрезках, $OH_B/OH_0 = OL/OK'$, то есть $BH/h_0 = L/L'$.
3. Построение искомого треугольника $ABC$.
   1. Проведем прямую $p$ и выберем на ней точку $H$.
   2. Восставим перпендикуляр к прямой $p$ в точке $H$ и отложим на нем построенный отрезок $BH$.
   3. Аналогично пункту 1(d), построим на прямой $p$ точки $A$ и $C$ так, чтобы $\angle BAH = \angle A$ и $\angle BCH = \angle C$.
   4. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

По построенному треугольнику $ABC$ углы при основании $AC$ по построению равны данным углам $\angle A$ и $\angle C$. Высота, опущенная из вершины $B$, по построению равна $BH$.
Треугольник $ABC$ подобен вспомогательному треугольнику $A'B'C'$, так как у них равны два угла ($\angle A = \angle A'$, $\angle C = \angle C'$).
Из подобия следует: $\frac{AC}{A'C'} = \frac{BH}{B'H'}$.
Из построения высоты $BH$ (как четвертого пропорционального) мы имеем: $\frac{BH}{h_0} = \frac{L}{L'}$, или $\frac{BH}{B'H'} = \frac{L}{L'}$, так как $h_0 = B'H'$ и $L'$ был построен как $A'K' = A'C' + B'H'$.
Следовательно, коэффициент подобия $k = \frac{BH}{B'H'}$ равен $\frac{L}{L'}$.
Тогда $AC = k \cdot A'C' = \frac{L}{L'} \cdot A'C'$.
Найдем сумму стороны $AC$ и высоты $BH$ в построенном треугольнике:
$AC + BH = \frac{L}{L'} \cdot A'C' + \frac{L}{L'} \cdot B'H' = \frac{L}{L'} (A'C' + B'H')$.
Так как $L' = A'C' + B'H'$, получаем:
$AC + BH = \frac{L}{L'} \cdot L' = L$.
Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда искомый треугольник существует. Для этого необходимо и достаточно, чтобы:

• Данные углы были положительными: $\angle A > 0$, $\angle C > 0$.
• Сумма данных углов была меньше $180^\circ$: $\angle A + \angle C < 180^\circ$.
• Данный отрезок $L$ имел положительную длину: $L > 0$.

Если эти условия выполнены, все шаги построения выполнимы и приводят к единственному (с точностью до конгруэнтности) решению.

Ответ: Построение треугольника осуществляется методом подобия, как описано выше. Сначала строится вспомогательный треугольник с произвольной высотой и заданными углами, затем находится сумма его основания и высоты. После этого, используя метод построения четвертого пропорционального отрезка, находится искомая высота, по которой уже строится требуемый треугольник.