Номер 880, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 880, страница 219.

Условие.

880 В треугольнике ABC прямая, проходящая через вершину А и делящая медиану ВМ в отношении 1 : 2, считая от вершины, пересекает сторону ВС в точке K. Найдите отношение площадей треугольников ABK и ABC.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 11.

Решение:

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$, где $M$ — середина стороны $AC$ (таким образом, $AM = MC$). Прямая, проходящая через вершину $A$, пересекает медиану $BM$ в некоторой точке $P$ и сторону $BC$ в точке $K$. По условию задачи, точка $P$ делит медиану $BM$ в отношении $BP : PM = 1 : 2$, считая от вершины $B$. Требуется найти отношение площадей треугольников $ABK$ и $ABC$.

Для нахождения соотношения, в котором точка $K$ делит сторону $BC$, воспользуемся теоремой Менелая для треугольника $BMC$ и секущей прямой $AK$ (которая также проходит через точку $P$). Эта секущая пересекает сторону $BC$ в точке $K$, сторону $BM$ в точке $P$ и продолжение стороны $CM$ (т.е. прямую $AC$) в точке $A$.

Согласно теореме Менелая, для треугольника $BMC$ и секущей $AKP$ выполняется следующее равенство: $$ \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CA}{AM} \cdot \frac{MP}{PB} = 1 $$

Проанализируем каждое из соотношений в этой формуле:

• Отношение $\frac{BK}{KC}$ нам необходимо найти.
• Поскольку $M$ — середина стороны $AC$, то $AC = 2 \cdot AM$. Следовательно, $\frac{CA}{AM} = \frac{2 \cdot AM}{AM} = 2$.
• По условию задачи $BP : PM = 1 : 2$, значит, обратное отношение равно $\frac{MP}{PB} = \frac{2}{1} = 2$.

Теперь подставим известные значения в уравнение теоремы Менелая: $$ \frac{BK}{KC} \cdot 2 \cdot 2 = 1 $$ $$ \frac{BK}{KC} \cdot 4 = 1 $$ $$ \frac{BK}{KC} = \frac{1}{4} $$

Из полученного соотношения следует, что $KC = 4 \cdot BK$. Тогда мы можем выразить длину всей стороны $BC$ через длину отрезка $BK$: $$ BC = BK + KC = BK + 4 \cdot BK = 5 \cdot BK $$ Отсюда находим отношение длины отрезка $BK$ к длине всей стороны $BC$: $$ \frac{BK}{BC} = \frac{BK}{5 \cdot BK} = \frac{1}{5} $$

Теперь рассмотрим отношение площадей треугольников $ABK$ и $ABC$. Эти треугольники имеют общую вершину $A$, а их основания $BK$ и $BC$ лежат на одной прямой. Это означает, что у них общая высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $BC$. Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению длин их оснований: $$ \frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{BK}{BC} $$

Подставляя найденное ранее значение, получаем искомое отношение площадей: $$ \frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{1}{5} $$

Ответ: $\frac{1}{5}$