Номер 887, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 887, страница 220.

887 Постройте треугольник по трём высотам.

Данная задача на построение решается методом подобия. Идея состоит в том, чтобы сначала построить треугольник, подобный искомому, а затем отмасштабировать его до требуемых размеров, используя одну из заданных высот.

Анализ

Пусть $ABC$ — искомый треугольник, $a, b, c$ — длины его сторон, а $h_a, h_b, h_c$ — высоты, проведенные к этим сторонам соответственно. Площадь $S$ треугольника $ABC$ можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}$. Применяя эту формулу для каждой из сторон, получаем:

$2S = a h_a = b h_b = c h_c$

Из этих равенств следует, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам:

$a : b : c = \frac{1}{h_a} : \frac{1}{h_b} : \frac{1}{h_c}$

Это означает, что если мы построим некоторый вспомогательный треугольник, стороны которого пропорциональны величинам $\frac{1}{h_a}, \frac{1}{h_b}, \frac{1}{h_c}$, то он будет подобен искомому треугольнику $ABC$.

Чтобы построить такой треугольник, можно выбрать длины его сторон равными $a' = k \cdot \frac{1}{h_a}$, $b' = k \cdot \frac{1}{h_b}$, $c' = k \cdot \frac{1}{h_c}$, где $k$ — некоторый коэффициент пропорциональности. Для удобства построения можно выбрать $k = h_a h_b$. Тогда стороны вспомогательного треугольника будут иметь длины $h_b$, $h_a$ и $\frac{h_a h_b}{h_c}$. Такой набор длин легко построить с помощью циркуля и линейки.

Построение

Пусть даны три отрезка, равные по длине высотам $h_a, h_b, h_c$.

1. Построим отрезок $p$, длина которого равна $\frac{h_a h_b}{h_c}$. Это классическая задача на построение четвертого пропорционального отрезка.
   • Начертим произвольный угол с вершиной $O$.
   • На одном луче угла отложим отрезки $OK = h_c$ и $OL = h_a$.
   • На другом луче отложим отрезок $OM = h_b$.
   • Соединим точки $K$ и $M$.
   • Через точку $L$ проведем прямую, параллельную $KM$. Пусть она пересечет второй луч в точке $N$.
   • Согласно обобщенной теореме Фалеса, $\frac{OK}{OL} = \frac{OM}{ON}$, откуда $ON = \frac{OL \cdot OM}{OK} = \frac{h_a h_b}{h_c}$. Длина отрезка $ON$ и есть искомая длина $p$.
2. Построим вспомогательный треугольник $A'B'C'$ по трем сторонам: $a' = h_b$, $b' = h_a$, $c' = p$. (Это стандартное построение SSS). Этот треугольник подобен искомому треугольнику $ABC$.
3. В треугольнике $A'B'C'$ проведем высоту $A'H'_{a}$ из вершины $A'$ к стороне $B'C'$. Обозначим ее длину как $h'_{a'}$.
4. Теперь построим искомый треугольник $ABC$, который будет подобен $A'B'C'$, но иметь высоту, равную $h_a$.
   • Проведем произвольную прямую $m$. Выберем на ней точку $H_a$.
   • Восстановим перпендикуляр к прямой $m$ в точке $H_a$ и отложим на нем отрезок $AH_a$ длиной $h_a$. Точка $A$ — это одна из вершин искомого треугольника.
   • Построим лучи $AB$ и $AC$, исходящие из точки $A$, так, чтобы они образовывали с высотой $AH_a$ углы, равные соответствующим углам во вспомогательном треугольнике. То есть, строим $\angle H_aAB = \angle H'_{a'}A'B'$ и $\angle H_aAC = \angle H'_{a'}A'C'$.
   • Точки $B$ и $C$, в которых эти лучи пересекут прямую $m$, будут двумя другими вершинами искомого треугольника $ABC$.

Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

По построению, вспомогательный треугольник $A'B'C'$ имеет стороны $a'=h_b$, $b'=h_a$, $c'=\frac{h_a h_b}{h_c}$. Отношение его сторон равно $a':b':c' = h_b : h_a : \frac{h_a h_b}{h_c}$. Умножив все части на $\frac{1}{h_a h_b}$, получаем $a':b':c' = \frac{1}{h_a} : \frac{1}{h_b} : \frac{1}{h_c}$.

Треугольник $ABC$ был построен подобным треугольнику $A'B'C'$ (по двум углам, скопированным на шаге 4). Значит, для его сторон $a,b,c$ выполняется то же соотношение: $a:b:c = \frac{1}{h_a} : \frac{1}{h_b} : \frac{1}{h_c}$.

С другой стороны, для любого треугольника с высотами $H_a, H_b, H_c$ справедливо $a:b:c = \frac{1}{H_a} : \frac{1}{H_b} : \frac{1}{H_c}$.

Сравнивая эти два выражения, мы видим, что $\frac{1}{H_a} : \frac{1}{H_b} : \frac{1}{H_c} = \frac{1}{h_a} : \frac{1}{h_b} : \frac{1}{h_c}$. Это означает, что высоты построенного треугольника $ABC$ пропорциональны заданным высотам $h_a, h_b, h_c$. То есть $H_a = k \cdot h_a$, $H_b = k \cdot h_b$, $H_c = k \cdot h_c$ для некоторого коэффициента $k$.

Но на шаге 4 мы построили треугольник $ABC$ так, что его высота $H_a$ равна заданной высоте $h_a$. Следовательно, $k=1$, и высоты $H_b$ и $H_c$ построенного треугольника также равны заданным $h_b$ и $h_c$. Что и требовалось доказать.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно построение вспомогательного треугольника $A'B'C'$. Для этого длины его сторон должны удовлетворять неравенству треугольника. Поскольку его стороны пропорциональны величинам $\frac{1}{h_a}, \frac{1}{h_b}, \frac{1}{h_c}$, то именно для этих величин должны выполняться неравенства:

$\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} > \frac{1}{h_c}$

$\frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_c} > \frac{1}{h_b}$

$\frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} > \frac{1}{h_a}$

Если эти условия выполняются, то задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности). Если одно из неравенств обращается в равенство (например, $\frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c} = \frac{1}{h_a}$), то треугольник вырождается в отрезок. Если хотя бы одно из строгих неравенств не выполняется, треугольник с заданными высотами не существует, и задача решения не имеет.

Ответ: Построение основано на методе подобия. Сначала строится вспомогательный треугольник со сторонами, обратно пропорциональными данным высотам. Затем этот треугольник масштабируется до нужных размеров. Задача имеет единственное решение, если величины, обратные данным высотам, удовлетворяют неравенству треугольника.