Номер 889, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 889, страница 220.

Условие.

889 Постройте ромб, площадь которого равна площади данного квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 11.

Для построения искомого ромба необходимо выполнить анализ задачи, само построение и привести доказательство корректности построения.

Анализ

Пусть дан квадрат со стороной $a$ и два отрезка длиной $m$ и $n$. Площадь квадрата равна $S_{кв} = a^2$.

Пусть искомый ромб имеет диагонали $d_1$ и $d_2$. Его площадь вычисляется по формуле $S_{ромб} = \frac{1}{2} d_1 d_2$.

Согласно условию задачи, площади фигур должны быть равны: $\frac{1}{2} d_1 d_2 = a^2$, откуда следует, что произведение диагоналей $d_1 d_2 = 2a^2$.

Также, по условию, отношение диагоналей ромба равно отношению данных отрезков. Будем считать, что это отношение $\frac{d_1}{d_2} = \frac{m}{n}$.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений для определения длин диагоналей $d_1$ и $d_2$:

$\begin{cases} d_1 d_2 = 2a^2 \\ \frac{d_1}{d_2} = \frac{m}{n} \end{cases}$

Выразим $d_1$ из второго уравнения ($d_1 = d_2 \frac{m}{n}$) и подставим в первое:

$(d_2 \frac{m}{n}) d_2 = 2a^2 \implies d_2^2 \frac{m}{n} = 2a^2 \implies d_2^2 = 2a^2 \frac{n}{m}$.

Аналогично, если выразить $d_2$, получим $d_1^2 = 2a^2 \frac{m}{n}$.

Эти формулы показывают, что для построения диагоналей нам нужно уметь выполнять следующие операции: построение четвертого пропорционального отрезка и построение среднего геометрического.

Длину диагонали $d_1$ можно представить как среднее геометрическое двух отрезков: $d_1 = \sqrt{(2a) \cdot (a\frac{m}{n})}$.

План построения:

1. Построить отрезок $x = a\frac{m}{n}$ (как четвертый пропорциональный к отрезкам $n, m, a$).

2. Построить отрезок $d_1$ как среднее геометрическое отрезков $2a$ и $x$.

3. Построить отрезок $d_2$ как четвертый пропорциональный к отрезкам $m, n, d_1$, используя соотношение $\frac{d_2}{d_1} = \frac{n}{m}$.

4. Имея две диагонали $d_1$ и $d_2$, построить искомый ромб.

Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений. Дан квадрат (его сторона $a$ известна) и два отрезка $m$ и $n$.

Этап 1: Построение отрезка $x = a\frac{m}{n}$.

1. Начертим произвольный угол с вершиной в точке $O$.

2. На одном луче угла отложим от вершины $O$ отрезок $ON$, равный $n$.

3. На другом луче угла отложим от вершины $O$ отрезок $OM$, равный $m$.

4. Соединим точки $N$ и $M$ отрезком.

5. На первом луче (где лежит точка $N$) отложим от вершины $O$ отрезок $OA$, равный стороне квадрата $a$.

6. Через точку $A$ проведем прямую, параллельную отрезку $NM$. Точку пересечения этой прямой со вторым лучом обозначим $X$. Отрезок $OX$ является искомым отрезком $x$. (Из подобия треугольников $\triangle OAX$ и $\triangle ONM$ следует, что $\frac{OX}{OM} = \frac{OA}{ON}$, то есть $\frac{x}{m} = \frac{a}{n}$, откуда $x = a\frac{m}{n}$).

Этап 2: Построение диагонали $d_1 = \sqrt{2ax}$.

1. На прямой отложим последовательно отрезки $PQ=2a$ (удвоенная сторона квадрата) и $QR=x$ (построенный на этапе 1).

2. На отрезке $PR$ как на диаметре построим полуокружность.

3. Из точки $Q$ восстановим перпендикуляр к прямой $PR$ до его пересечения с полуокружностью в точке $S$.

4. Отрезок $QS$ является искомой диагональю $d_1$. Его длина равна среднему геометрическому отрезков $PQ$ и $QR$, то есть $d_1 = \sqrt{PQ \cdot QR} = \sqrt{(2a) \cdot x} = \sqrt{2a \cdot a\frac{m}{n}} = \sqrt{2a^2 \frac{m}{n}}$.

Этап 3: Построение диагонали $d_2$.

Построим $d_2$ как четвертый пропорциональный к отрезкам $m, n, d_1$ из соотношения $\frac{d_2}{d_1} = \frac{n}{m}$.

1. Начертим произвольный угол с вершиной в точке $O'$.

2. На одном луче угла отложим от вершины $O'$ отрезок $O'M'$, равный $m$.

3. На другом луче отложим от вершины $O'$ отрезок $O'D_1'$, равный построенной диагонали $d_1$.

4. Соединим точки $M'$ и $D_1'$ отрезком.

5. На первом луче (где лежит точка $M'$) отложим от вершины $O'$ отрезок $O'N'$, равный $n$.

6. Через точку $N'$ проведем прямую, параллельную отрезку $M'D_1'$. Точку пересечения этой прямой со вторым лучом обозначим $D_2'$. Отрезок $O'D_2'$ является искомой диагональю $d_2$. (Из подобия треугольников $\triangle O'N'D_2'$ и $\triangle O'M'D_1'$ следует, что $\frac{O'D_2'}{O'D_1'} = \frac{O'N'}{O'M'}$, то есть $\frac{d_2}{d_1} = \frac{n}{m}$).

Этап 4: Построение ромба по двум диагоналям.

1. Проведем прямую и отложим на ней отрезок $AC$, равный $d_1$.

2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Пусть $K$ — середина $AC$.

3. На серединном перпендикуляре в обе стороны от точки $K$ отложим отрезки $KB$ и $KD$, равные половине длины диагонали $d_2$ (для этого предварительно нужно построить середину отрезка $d_2$).

4. Последовательно соединим точки $A, B, C, D$. Четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство

1. Построенный четырехугольник $ABCD$ является ромбом, так как его диагонали $AC$ и $BD$ по построению взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

2. Проверим площадь построенного ромба. Длины его диагоналей равны $AC = d_1$ и $BD = d_2$. Площадь равна $S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2$. Из построения мы знаем, что $d_1^2 = 2a^2 \frac{m}{n}$ и $\frac{d_2}{d_1} = \frac{n}{m}$, откуда $d_2 = d_1 \frac{n}{m}$. Подставим эти выражения в формулу площади:$S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 \left(d_1 \frac{n}{m}\right) = \frac{1}{2} d_1^2 \frac{n}{m} = \frac{1}{2} \left(2a^2 \frac{m}{n}\right) \frac{n}{m} = \frac{1}{2} \cdot 2a^2 \cdot \left(\frac{m}{n} \cdot \frac{n}{m}\right) = a^2$.Площадь построенного ромба $a^2$ равна площади данного квадрата со стороной $a$.

3. Проверим отношение диагоналей. По построению отрезка $d_2$ (Этап 3) мы обеспечили выполнение соотношения $\frac{d_2}{d_1} = \frac{n}{m}$. Следовательно, отношение диагоналей построенного ромба $\frac{d_1}{d_2} = \frac{m}{n}$, что равно отношению длин данных отрезков.

Таким образом, построенный ромб $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Алгоритм построения искомого ромба, основанный на построении четвертого пропорционального отрезка и среднего геометрического, подробно описан выше. Построенный по этому алгоритму ромб будет иметь площадь, равную площади данного квадрата, а отношение его диагоналей будет равно отношению данных отрезков.