Номер 883, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 883, страница 220.

883 Точка С лежит на отрезке AB. Постройте точку D прямой AB, не лежащую на отрезке AB, так, чтобы ADDB = ACCB. Всегда ли задача имеет решение?

Задача состоит из двух частей: построение точки D и анализ существования решения.

Построение точки D

Для построения точки D, удовлетворяющей условию $\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB}$, выполним следующие шаги:

1. Начертим отрезок AB и отметим на нем данную точку C.
2. Через точку A проведем произвольную прямую l, не совпадающую с прямой AB.
3. Через точку B проведем прямую m, параллельную прямой l.
4. С помощью циркуля измерим длину отрезка AC. Отложим на прямой l от точки A отрезок AP, равный по длине отрезку AC.
5. С помощью циркуля измерим длину отрезка CB. Отложим на прямой m от точки B отрезок BQ, равный по длине отрезку CB. Важно, чтобы точки P и Q лежали по одну сторону от прямой AB.
6. Проведем прямую через точки P и Q.
7. Точка D, в которой прямая PQ пересекает прямую AB, и является искомой точкой.

Доказательство корректности построения:

Рассмотрим треугольники $\triangle DAP$ и $\triangle DBQ$.

• Угол при вершине D ($\angle PDQ$) является общим для обоих треугольников.
• Так как прямая l (содержащая отрезок AP) и прямая m (содержащая отрезок BQ) параллельны по построению, а прямая AD является секущей, то углы $\angle DAP$ и $\angle DBQ$ равны как соответственные.

Следовательно, треугольники $\triangle DAP$ и $\triangle DBQ$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность соответственных сторон:

$\frac{AD}{DB} = \frac{AP}{BQ}$

По построению мы выбрали длины отрезков $AP = AC$ и $BQ = CB$. Подставив эти значения в полученное соотношение, мы получаем требуемое равенство:

$\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB}$

Точка D лежит на прямой AB, но не на отрезке AB. Это следует из того, что точки P и Q находятся по одну сторону от прямой AB. Если $AC \neq CB$, то $AP \neq BQ$, и прямая PQ не будет параллельна прямой AB, а значит, пересечет ее в единственной точке D.

Ответ: Построение точки D выполняется в 7 шагов, как описано выше. Построенная точка D удовлетворяет заданному условию.

Всегда ли задача имеет решение?

Проанализируем условие $\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{CB}$.

Рассмотрим особый случай, когда точка C является серединой отрезка AB. В этом случае $AC = CB$, и отношение $\frac{AC}{CB} = 1$.

Тогда условие для точки D принимает вид:

$\frac{AD}{DB} = 1$, что эквивалентно $AD = DB$.

Это означает, что точка D должна быть равноудалена от точек A и B. На прямой AB единственная точка, удовлетворяющая этому условию, — это середина отрезка AB, то есть сама точка C.

Однако по условию задачи точка D не должна лежать на отрезке AB. Поскольку C лежит на отрезке AB, возникает противоречие. Таким образом, если C — середина отрезка AB, задача не имеет решения.

Если же точка C не является серединой отрезка AB, то $AC \neq CB$, и отношение $k = \frac{AC}{CB} \neq 1$. В этом случае всегда существует единственная точка D на прямой AB, не лежащая на отрезке AB, которая делит его внешним образом в заданном отношении $k$.

• Если $AC > CB$ (точка C ближе к точке B), то точка D будет лежать на продолжении отрезка AB за точкой B.
• Если $AC < CB$ (точка C ближе к точке A), то точка D будет лежать на продолжении отрезка AB за точкой A.

В обоих этих случаях решение существует и оно единственно.

Ответ: Нет, задача имеет решение не всегда. Решение существует тогда и только тогда, когда точка C не является серединой отрезка AB.