Номер 885, страница 220 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 885, страница 220.

885 Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.

Пусть нам даны три отрезка, соответствующие двум сторонам треугольника ($b$ и $c$) и биссектрисе угла между ними ($l_a$). Требуется построить треугольник $ABC$ с помощью циркуля и линейки так, чтобы $AC=b$, $AB=c$, а длина биссерисы угла $A$ была равна $l_a$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $AD$ — биссектриса угла $A$, где точка $D$ лежит на стороне $BC$, и $AD = l_a$. Проведём через точку $B$ прямую, параллельную стороне $AC$, и продлим биссектрису $AD$ до пересечения с этой прямой в точке $E$.

Рассмотрим полученную конфигурацию.
1. Поскольку $BE \parallel AC$, то накрест лежащие углы при секущей $AE$ равны: $?CAE = ?BED$.
2. Так как $AD$ — биссектриса, то $?CAE = ?BAE$.
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $?BAE = ?BED$.
4. Следовательно, треугольник $ABE$ является равнобедренным, и $AB = BE$. По условию $AB = c$, значит и $BE = c$.
5. Рассмотрим треугольники $ADC$ и $EDB$. У них:
- $?ADC = ?EDB$ как вертикальные.
- $?DAC = ?DEB$ (доказано в п.1).
Следовательно, треугольники $ADC$ и $EDB$ подобны по двум углам.
6. Из подобия следует пропорциональность сторон:
$\frac{AD}{ED} = \frac{AC}{EB} = \frac{DC}{DB}$
7. Используя первую часть пропорции и известные нам длины, получаем:
$\frac{l_a}{ED} = \frac{b}{c}$
Отсюда можно выразить длину отрезка $ED$: $ED = \frac{l_a \cdot c}{b}$.
8. Теперь мы можем найти длину всего отрезка $AE$:
$AE = AD + ED = l_a + \frac{l_a \cdot c}{b} = l_a \left(1 + \frac{c}{b}\right) = l_a \frac{b+c}{b}$.

Таким образом, анализ свёл задачу к построению вспомогательного треугольника $ABE$. Мы можем построить отрезок $AE$ указанной длины (как четвертый пропорциональный отрезок). После этого мы можем построить треугольник $ABE$ по трем сторонам: $AB=c$, $BE=c$, $AE = l_a \frac{b+c}{b}$. Построив треугольник $ABE$, мы легко найдем вершину $C$. Она лежит на прямой, проходящей через $A$ параллельно $BE$, на расстоянии $b$ от точки $A$.

Построение

1. Построим отрезок длины $L = l_a \frac{b+c}{b}$. Это делается стандартным построением четвертого пропорционального отрезка: на одной стороне произвольного угла от его вершины откладываем отрезки $b$ и $b+c$. На другой стороне откладываем отрезок $l_a$. Соединяем конец отрезка $b$ с концом отрезка $l_a$. Через конец отрезка $b+c$ проводим прямую, параллельную полученной. Эта прямая отсечет на второй стороне угла искомый отрезок $L$.
2. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AE$ длиной $L$.
3. Построим две окружности: одну с центром в точке $A$ и радиусом $c$, вторую с центром в точке $E$ и радиусом $c$.
4. Точка пересечения этих двух окружностей будет вершиной $B$ (можно выбрать любую из двух точек пересечения, вторая даст конгруэнтный треугольник). Соединим точки, чтобы получить треугольник $ABE$.
5. Через точку $A$ проведем прямую, параллельную отрезку $BE$.
6. На этой прямой отложим от точки $A$ отрезок $AC$ длиной $b$. Направление нужно выбрать так, чтобы точки $C$ и $B$ лежали по разные стороны от прямой $AE$.
7. Соединим точки $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

По построению, в полученном треугольнике $ABC$ стороны $AB=c$ и $AC=b$. Осталось доказать, что отрезок $AD$ (где $D$ — точка пересечения прямой $AE$ и стороны $BC$) является биссектрисой угла $A$ и имеет длину $l_a$.
1. По построению $AC \parallel BE$. Прямая $AE$ является секущей. Следовательно, $?CAE = ?BEA$ (накрест лежащие углы).
2. Треугольник $ABE$ по построению равнобедренный ($AB=BE=c$), значит, углы при его основании равны: $?BAE = ?BEA$.
3. Из (1) и (2) следует, что $?CAE = ?BAE$. Это означает, что луч $AE$ (а значит, и отрезок $AD$) является биссектрисой угла $BAC$.
4. Так как $AC \parallel BE$, то треугольники $ADC$ и $EDB$ подобны. Из их подобия следует, что $\frac{AD}{ED} = \frac{AC}{EB}$. Так как $AE = AD+ED$, то $ED = AE-AD$.
$\frac{AD}{AE-AD} = \frac{b}{c}$
$c \cdot AD = b \cdot (AE-AD)$
$(b+c)AD = b \cdot AE$
$AD = \frac{b \cdot AE}{b+c}$
5. По построению, мы выбрали длину $AE = L = l_a \frac{b+c}{b}$. Подставим это в полученное равенство:
$AD = \frac{b}{b+c} \cdot \left(l_a \frac{b+c}{b}\right) = l_a$.
Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно, если на шаге 4 можно построить треугольник $ABE$. Это возможно тогда и только тогда, когда выполняется неравенство треугольника для сторон $c$, $c$ и $L=AE$. Так как $c+L > c$ всегда верно, единственное нетривиальное условие:
$c + c > AE$
$2c > l_a \frac{b+c}{b}$
$2bc > l_a (b+c)$
$l_a < \frac{2bc}{b+c}$
Эта формула известна как неравенство для длины биссектрисы. Если это условие выполняется, то окружности на шаге 3 пересекутся в двух точках. Выбор любой из них приводит к построению одного и того же треугольника (с точностью до конгруэнтности), так как две возможные фигуры будут симметричны относительно прямой $AE$.
Если $l_a = \frac{2bc}{b+c}$, то $AE = 2c$, и точки $A, B, E$ лежат на одной прямой, треугольник вырождается.
Если $l_a > \frac{2bc}{b+c}$, то $AE > 2c$, окружности не пересекаются, и построение невозможно.
Следовательно, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если $l_a < \frac{2bc}{b+c}$, и не имеет решений в противном случае.

Ответ: Задача решается методом построения вспомогательного равнобедренного треугольника, как описано выше. Решение существует и единственно, если длина биссектрисы $l_a$ удовлетворяет неравенству $l_a < \frac{2bc}{b+c}$.