Номер 878, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 878, страница 219.

878 В треугольнике ABC, сторона АС которого в 2 раза больше стороны ВС, проведены биссектриса СМ и биссектриса внешнего угла при вершине С, пересекающая прямую AB в точке K. Докажите, что $S_{BCM}=\frac{1}{2}{S}_{ACM}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}=\frac{1}{2}{S}_{CMK}.$

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника, а также тем, что отношение площадей треугольников с равной высотой равно отношению длин их оснований.

Пусть дано:

• Треугольник $ABC$.
• $AC = 2 \cdot BC$.
• $CM$ — биссектриса угла $\angle ACB$, точка $M$ лежит на стороне $AB$.
• $CK$ — биссектриса внешнего угла при вершине $C$, точка $K$ лежит на прямой $AB$.

Доказательство равенства $S_{BCM} = \frac{1}{2}S_{ACM}$

Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы $CM$ треугольника $ABC$ имеем: $$ \frac{AM}{BM} = \frac{AC}{BC} $$ По условию задачи, $AC = 2 \cdot BC$. Подставим это в пропорцию: $$ \frac{AM}{BM} = \frac{2 \cdot BC}{BC} = 2 $$ Отсюда следует, что $AM = 2 \cdot BM$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle ACM$. Они имеют общую вершину $C$, а их основания $BM$ и $AM$ лежат на одной прямой $AB$. Следовательно, у этих треугольников общая высота, проведенная из вершины $C$ к прямой $AB$. Обозначим эту высоту как $h_C$.

Площади этих треугольников относятся как их основания: $$ \frac{S_{ACM}}{S_{BCM}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AM \cdot h_C}{\frac{1}{2} \cdot BM \cdot h_C} = \frac{AM}{BM} $$ Так как мы установили, что $\frac{AM}{BM} = 2$, то: $$ \frac{S_{ACM}}{S_{BCM}} = 2 $$ Из этого следует, что $S_{ACM} = 2 \cdot S_{BCM}$, или $S_{BCM} = \frac{1}{2}S_{ACM}$. Первое равенство из условия доказано.

Ответ: Равенство $S_{BCM} = \frac{1}{2}S_{ACM}$ доказано.

Доказательство равенства $S_{BCM} = \frac{1}{3}S_{ABC}$

Площадь всего треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $\triangle BCM$ и $\triangle ACM$, так как биссектриса $CM$ делит его на эти две части: $$ S_{ABC} = S_{BCM} + S_{ACM} $$ Из предыдущего пункта мы знаем, что $S_{ACM} = 2 \cdot S_{BCM}$. Подставим это выражение в формулу для площади $\triangle ABC$: $$ S_{ABC} = S_{BCM} + (2 \cdot S_{BCM}) = 3 \cdot S_{BCM} $$ Отсюда получаем: $$ S_{BCM} = \frac{1}{3}S_{ABC} $$ Второе равенство из условия доказано.

Ответ: Равенство $S_{BCM} = \frac{1}{3}S_{ABC}$ доказано.

Анализ соотношения между $S_{BCM}$ и $S_{CMK}$

Рассмотрим биссектрису $CK$ внешнего угла при вершине $C$. Согласно свойству биссектрисы внешнего угла, она делит продолжение противолежащей стороны $AB$ в отношении, равном отношению прилежащих сторон: $$ \frac{AK}{BK} = \frac{AC}{BC} $$ Используя условие $AC = 2 \cdot BC$, получаем: $$ \frac{AK}{BK} = 2 \implies AK = 2 \cdot BK $$ Поскольку $AK > BK$, точка $B$ лежит между точками $A$ и $K$. Таким образом, $AK = AB + BK$. Подставим $AK = 2 \cdot BK$: $$ 2 \cdot BK = AB + BK \implies BK = AB $$

Теперь выразим длины отрезков на прямой $AK$ через одну и ту же величину, например, $BM$. Из первого пункта мы имеем $AM = 2 \cdot BM$. Тогда $AB = AM + BM = 2 \cdot BM + BM = 3 \cdot BM$. Поскольку $BK = AB$, то $BK = 3 \cdot BM$. Теперь найдем длину отрезка $MK$: $$ MK = MB + BK = BM + 3 \cdot BM = 4 \cdot BM $$

Рассмотрим треугольники $\triangle BCM$ и $\triangle CMK$. Они имеют общую вершину $C$, а их основания $BM$ и $MK$ лежат на одной прямой $AK$. Следовательно, у них общая высота $h_C$, проведенная из $C$ к прямой $AK$. Отношение их площадей равно отношению их оснований: $$ \frac{S_{CMK}}{S_{BCM}} = \frac{MK}{BM} $$ Подставив найденные длины, получаем: $$ \frac{S_{CMK}}{S_{BCM}} = \frac{4 \cdot BM}{BM} = 4 $$ Отсюда $S_{CMK} = 4 \cdot S_{BCM}$, или: $$ S_{BCM} = \frac{1}{4}S_{CMK} $$

Вывод: Доказанное соотношение $S_{BCM} = \frac{1}{4}S_{CMK}$ противоречит равенству $S_{BCM} = \frac{1}{2}S_{CMK}$, указанному в условии задачи. Это означает, что исходное утверждение неверно. Вероятнее всего, в условии задачи содержится опечатка. На основе приведенных данных верным является соотношение $S_{BCM} = \frac{1}{4}S_{CMK}$.

Ответ: Утверждение $S_{BCM} = \frac{1}{2}S_{CMK}$ неверно. На основе данных задачи было доказано, что правильное соотношение: $S_{BCM} = \frac{1}{4}S_{CMK}$.