Номер 873, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 873, страница 219.

873 Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырёхугольник — трапеция или параллелограмм.

Пусть $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины выпуклого четырёхугольника, заданные радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ соответственно.

Пусть $M$ — середина стороны $AB$, а $N$ — середина стороны $CD$. Тогда их радиус-векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ можно выразить следующим образом:

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

$\vec{n} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$

Найдём вектор $\vec{MN}$, соединяющий эти середины:

$\vec{MN} = \vec{n} - \vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d} - \vec{a} - \vec{b})$

Сгруппируем слагаемые, чтобы получить векторы сторон четырёхугольника. Учитывая, что $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$, получаем:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}((\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{b})) = \frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})$

Длина отрезка $MN$ равна модулю (длине) вектора $\vec{MN}$:

$MN = |\vec{MN}| = |\frac{1}{2}(\vec{AD} + \vec{BC})| = \frac{1}{2}|\vec{AD} + \vec{BC}|$

По условию задачи, длина этого отрезка равна полусумме длин двух других сторон, $AD$ и $BC$:

$MN = \frac{AD + BC}{2}$

В векторной форме это условие записывается как:

$MN = \frac{|\vec{AD}| + |\vec{BC}|}{2}$

Приравнивая два полученных выражения для $MN$, имеем:

$\frac{1}{2}|\vec{AD} + \vec{BC}| = \frac{|\vec{AD}| + |\vec{BC}|}{2}$

Умножив обе части равенства на 2, получим:

$|\vec{AD} + \vec{BC}| = |\vec{AD}| + |\vec{BC}|$

Это выражение представляет собой случай равенства в неравенстве треугольника для векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$. В общем виде неравенство треугольника для векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ выглядит так: $|\vec{x} + \vec{y}| \le |\vec{x}| + |\vec{y}|$. Равенство в нём достигается тогда и только тогда, когда векторы $\vec{x}$ и $\vec{y}$ сонаправлены (то есть коллинеарны и направлены в одну сторону).

Следовательно, векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены. Это означает, что прямые, содержащие стороны $AD$ и $BC$, параллельны: $AD \parallel BC$.

Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, является трапецией. Если эти стороны к тому же равны по длине, то он является параллелограммом (частным случаем трапеции). Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Мы доказали, что из условия задачи следует параллельность сторон $AD$ и $BC$, а это означает, что четырёхугольник $ABCD$ является трапецией или параллелограммом.