Номер 866, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 866, страница 218.

866 Из точки М внутренней области угла AOB проведены перпендикуляры МР и MQ к его сторонам ОА и ОB. Из точек Р и Q проведены перпендикуляры PR и QS соответственно к ОВ и OA. Докажите, что RS ⊥ OM.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в вершину угла $O$. Введем единичные векторы $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$, направленные вдоль лучей $OA$ и $OB$ соответственно, так что $|\vec{e_1}| = 1$ и $|\vec{e_2}| = 1$.

Пусть $\vec{m} = \vec{OM}$. По условию задачи, точки $P$, $Q$, $R$ и $S$ являются ортогональными проекциями других точек на стороны угла. Ортогональная проекция вектора $\vec{a}$ на направление, заданное единичным вектором $\vec{e}$, вычисляется по формуле $(\vec{a} \cdot \vec{e})\vec{e}$.

Выразим радиус-векторы точек $P$, $Q$, $R$ и $S$ через вектор $\vec{m}$ и единичные векторы $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$.

1. Точка $P$ — это проекция точки $M$ на луч $OA$. Следовательно, радиус-вектор точки $P$ равен:

$\vec{OP} = (\vec{OM} \cdot \vec{e_1})\vec{e_1} = (\vec{m} \cdot \vec{e_1})\vec{e_1}$

2. Точка $Q$ — это проекция точки $M$ на луч $OB$. Следовательно, радиус-вектор точки $Q$ равен:

$\vec{OQ} = (\vec{OM} \cdot \vec{e_2})\vec{e_2} = (\vec{m} \cdot \vec{e_2})\vec{e_2}$

3. Точка $R$ — это проекция точки $P$ на луч $OB$. Следовательно, радиус-вектор точки $R$ равен:

$\vec{OR} = (\vec{OP} \cdot \vec{e_2})\vec{e_2}$

Подставим в это выражение $\vec{OP}$ из пункта 1:

$\vec{OR} = ( ((\vec{m} \cdot \vec{e_1})\vec{e_1}) \cdot \vec{e_2})\vec{e_2}$

Так как $(\vec{m} \cdot \vec{e_1})$ является скаляром, его можно вынести за знак скалярного произведения:

$\vec{OR} = (\vec{m} \cdot \vec{e_1}) (\vec{e_1} \cdot \vec{e_2})\vec{e_2}$

4. Точка $S$ — это проекция точки $Q$ на луч $OA$. Следовательно, радиус-вектор точки $S$ равен:

$\vec{OS} = (\vec{OQ} \cdot \vec{e_1})\vec{e_1}$

Подставим в это выражение $\vec{OQ}$ из пункта 2:

$\vec{OS} = ( ((\vec{m} \cdot \vec{e_2})\vec{e_2}) \cdot \vec{e_1})\vec{e_1}$

Аналогично, вынося скаляр $(\vec{m} \cdot \vec{e_2})$, получаем:

$\vec{OS} = (\vec{m} \cdot \vec{e_2}) (\vec{e_2} \cdot \vec{e_1})\vec{e_1}$

Для доказательства перпендикулярности $RS \perp OM$ необходимо показать, что скалярное произведение векторов $\vec{RS}$ и $\vec{OM}$ равно нулю, то есть $\vec{RS} \cdot \vec{OM} = 0$.

Сначала выразим вектор $\vec{RS}$ через радиус-векторы его конца и начала:

$\vec{RS} = \vec{OS} - \vec{OR} = (\vec{m} \cdot \vec{e_2}) (\vec{e_2} \cdot \vec{e_1})\vec{e_1} - (\vec{m} \cdot \vec{e_1}) (\vec{e_1} \cdot \vec{e_2})\vec{e_2}$

Теперь вычислим скалярное произведение $\vec{OM} \cdot \vec{RS}$:

$\vec{OM} \cdot \vec{RS} = \vec{m} \cdot [(\vec{m} \cdot \vec{e_2}) (\vec{e_2} \cdot \vec{e_1})\vec{e_1} - (\vec{m} \cdot \vec{e_1}) (\vec{e_1} \cdot \vec{e_2})\vec{e_2}]$

Используя свойство дистрибутивности скалярного произведения, раскроем скобки:

$\vec{OM} \cdot \vec{RS} = \vec{m} \cdot ((\vec{m} \cdot \vec{e_2}) (\vec{e_2} \cdot \vec{e_1})\vec{e_1}) - \vec{m} \cdot ((\vec{m} \cdot \vec{e_1}) (\vec{e_1} \cdot \vec{e_2})\vec{e_2})$

Вынесем скалярные множители из-под знака скалярного произведения:

$\vec{OM} \cdot \vec{RS} = (\vec{m} \cdot \vec{e_2}) (\vec{e_2} \cdot \vec{e_1}) (\vec{m} \cdot \vec{e_1}) - (\vec{m} \cdot \vec{e_1}) (\vec{e_1} \cdot \vec{e_2}) (\vec{m} \cdot \vec{e_2})$

Скалярное произведение коммутативно ($\vec{e_1} \cdot \vec{e_2} = \vec{e_2} \cdot \vec{e_1}$), а умножение действительных чисел также коммутативно. Следовательно, уменьшаемое и вычитаемое в полученном выражении равны:

$(\vec{m} \cdot \vec{e_1}) (\vec{m} \cdot \vec{e_2}) (\vec{e_1} \cdot \vec{e_2}) = (\vec{m} \cdot \vec{e_1}) (\vec{m} \cdot \vec{e_2}) (\vec{e_1} \cdot \vec{e_2})$

Таким образом, их разность равна нулю:

$\vec{OM} \cdot \vec{RS} = 0$

Равенство нулю скалярного произведения векторов означает, что эти векторы ортогональны. Следовательно, прямые $OM$ и $RS$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.