Номер 867, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 867, страница 218.

867 В равнобедренном треугольнике ABC из середины D основания АС проведён перпендикуляр DH к стороне ВС. Пусть М — середина отрезка DH. Докажите, что ВМ ⊥ АН.

Для решения задачи воспользуемся методом координат.

1. Введение системы координат.Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, медиана $BD$, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $BD \perp AC$.Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $Ox$ вдоль прямой $AC$ и ось $Oy$ вдоль прямой $BD$.Пусть длина отрезка $DC$ равна $c$, а длина отрезка $DB$ равна $b$. Тогда координаты вершин треугольника будут следующими:

• $A(-c, 0)$
• $B(0, b)$
• $C(c, 0)$
• $D(0, 0)$

2. Нахождение координат точки H.Точка $H$ является основанием перпендикуляра $DH$, опущенного из точки $D$ на прямую $BC$. Для нахождения ее координат сначала найдем уравнения прямых $BC$ и $DH$.

Угловой коэффициент прямой $BC$:$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{0 - b}{c - 0} = -\frac{b}{c}$.

Уравнение прямой $BC$ (используя точку $C(c, 0)$ и угловой коэффициент):$y - 0 = k_{BC}(x - c) \implies y = -\frac{b}{c}(x - c)$.

Прямая $DH$ проходит через начало координат $D(0, 0)$ и перпендикулярна прямой $BC$. Условие перпендикулярности прямых: $k_{DH} \cdot k_{BC} = -1$.Отсюда угловой коэффициент прямой $DH$:$k_{DH} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{-b/c} = \frac{c}{b}$.

Уравнение прямой $DH$:$y = k_{DH}x \implies y = \frac{c}{b}x$.

Координаты точки $H$ найдем, решив систему уравнений для прямых $BC$ и $DH$:

$\frac{c}{b}x = -\frac{b}{c}(x - c)$

$\frac{c}{b}x = -\frac{b}{c}x + b$

$(\frac{c}{b} + \frac{b}{c})x = b$

$\frac{c^2 + b^2}{bc}x = b$

$x_H = \frac{b^2c}{b^2 + c^2}$.

Теперь найдем $y_H$, подставив $x_H$ в уравнение прямой $DH$:

$y_H = \frac{c}{b}x_H = \frac{c}{b} \cdot \frac{b^2c}{b^2 + c^2} = \frac{bc^2}{b^2 + c^2}$.

Таким образом, координаты точки $H$ равны $(\frac{b^2c}{b^2 + c^2}, \frac{bc^2}{b^2 + c^2})$.

3. Нахождение координат точки M.По условию, $M$ — середина отрезка $DH$. Используем формулу координат середины отрезка:

$x_M = \frac{x_D + x_H}{2} = \frac{0 + \frac{b^2c}{b^2 + c^2}}{2} = \frac{b^2c}{2(b^2 + c^2)}$.

$y_M = \frac{y_D + y_H}{2} = \frac{0 + \frac{bc^2}{b^2 + c^2}}{2} = \frac{bc^2}{2(b^2 + c^2)}$.

Итак, координаты точки $M$ равны $(\frac{b^2c}{2(b^2 + c^2)}, \frac{bc^2}{2(b^2 + c^2)})$.

4. Доказательство перпендикулярности $BM$ и $AH$.Чтобы доказать, что $BM \perp AH$, необходимо показать, что произведение угловых коэффициентов этих прямых равно $-1$.

Найдем угловой коэффициент прямой $BM$, используя координаты точек $B(0, b)$ и $M$:

$k_{BM} = \frac{y_M - y_B}{x_M - x_B} = \frac{\frac{bc^2}{2(b^2 + c^2)} - b}{\frac{b^2c}{2(b^2 + c^2)} - 0} = \frac{\frac{bc^2 - 2b(b^2 + c^2)}{2(b^2 + c^2)}}{\frac{b^2c}{2(b^2 + c^2)}} = \frac{bc^2 - 2b^3 - 2bc^2}{b^2c} = \frac{-bc^2 - 2b^3}{b^2c} = \frac{-b(c^2 + 2b^2)}{b^2c} = -\frac{c^2 + 2b^2}{bc}$.

Найдем угловой коэффициент прямой $AH$, используя координаты точек $A(-c, 0)$ и $H$:

$k_{AH} = \frac{y_H - y_A}{x_H - x_A} = \frac{\frac{bc^2}{b^2 + c^2} - 0}{\frac{b^2c}{b^2 + c^2} - (-c)} = \frac{\frac{bc^2}{b^2 + c^2}}{\frac{b^2c + c(b^2 + c^2)}{b^2 + c^2}} = \frac{bc^2}{b^2c + cb^2 + c^3} = \frac{bc^2}{2b^2c + c^3} = \frac{bc^2}{c(2b^2 + c^2)} = \frac{bc}{2b^2 + c^2}$.

Теперь вычислим произведение угловых коэффициентов:

$k_{BM} \cdot k_{AH} = \left(-\frac{c^2 + 2b^2}{bc}\right) \cdot \left(\frac{bc}{2b^2 + c^2}\right) = -1$.

Поскольку произведение угловых коэффициентов прямых $BM$ и $AH$ равно $-1$, эти прямые перпендикулярны. Таким образом, $BM \perp AH$.

Ответ: Утверждение доказано.