Номер 865, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 865, страница 218.

865 В треугольнике ABC ∠A = 180°7 и ∠B = 360°7. Докажите, что 1BC = 1AC + 1AB.

Обозначим стороны треугольника, противолежащие углам $A$, $B$ и $C$, как $a$, $b$ и $c$ соответственно. То есть, $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$. Уравнение, которое необходимо доказать, принимает вид:

$\frac{1}{a} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Сначала найдем величину угла $C$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Дано:

$\angle A = \frac{180^\circ}{7}$

$\angle B = \frac{360^\circ}{7} = 2 \cdot \frac{180^\circ}{7} = 2\angle A$

Тогда угол $C$ равен:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - \frac{180^\circ}{7} - \frac{360^\circ}{7} = 180^\circ \left(1 - \frac{1}{7} - \frac{2}{7}\right) = 180^\circ \left(\frac{7-1-2}{7}\right) = 180^\circ \cdot \frac{4}{7} = \frac{720^\circ}{7}$

Заметим, что $\angle C = 4 \angle A$ и $\angle B = 2\angle A$. Обозначим $\alpha = \angle A = \frac{180^\circ}{7} = \frac{\pi}{7}$ радиан. Тогда углы треугольника равны $\alpha$, $2\alpha$ и $4\alpha$.

Теперь воспользуемся теоремой синусов, которая связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

где $R$ — радиус описанной окружности. Отсюда можно выразить длины сторон:

$a = 2R \sin A = 2R \sin \alpha$

$b = 2R \sin B = 2R \sin(2\alpha)$

$c = 2R \sin C = 2R \sin(4\alpha)$

Подставим эти выражения в доказываемое равенство:

$\frac{1}{2R \sin \alpha} = \frac{1}{2R \sin(2\alpha)} + \frac{1}{2R \sin(4\alpha)}$

Сократив на $2R$ (поскольку $R \ne 0$), мы получим эквивалентное тригонометрическое тождество, которое нужно доказать:

$\frac{1}{\sin \alpha} = \frac{1}{\sin(2\alpha)} + \frac{1}{\sin(4\alpha)}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{\sin \alpha} = \frac{\sin(4\alpha) + \sin(2\alpha)}{\sin(2\alpha)\sin(4\alpha)}$

Перемножим крест-накрест:

$\sin(2\alpha)\sin(4\alpha) = \sin \alpha (\sin(4\alpha) + \sin(2\alpha))$

Для доказательства этого тождества при $\alpha = \pi/7$ воспользуемся свойствами углов, связанных с правильным семиугольником. Так как $7\alpha = \pi$, то для любого целого $k$ справедливо $\sin(k\alpha) = \sin(\pi - k\alpha) = \sin((7-k)\alpha)$. В частности:

$\sin(4\alpha) = \sin(7\alpha - 3\alpha) = \sin(\pi - 3\alpha) = \sin(3\alpha)$

Подставим это в наше тождество:

$\sin(2\alpha)\sin(3\alpha) = \sin \alpha (\sin(3\alpha) + \sin(2\alpha))$

Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону:

$\sin(2\alpha)\sin(3\alpha) - \sin \alpha \sin(3\alpha) - \sin \alpha \sin(2\alpha) = 0$

Теперь применим формулу преобразования произведения синусов в сумму (разность) косинусов: $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x-y) - \cos(x+y))$.

$\frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos(5\alpha)) - \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) - \cos(4\alpha)) - \frac{1}{2}(\cos\alpha - \cos(3\alpha)) = 0$

Умножим на 2 и раскроем скобки:

$\cos\alpha - \cos(5\alpha) - \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) - \cos\alpha + \cos(3\alpha) = 0$

Сократим $\cos\alpha$:

$-\cos(5\alpha) - \cos(2\alpha) + \cos(4\alpha) + \cos(3\alpha) = 0$

Теперь воспользуемся еще одним свойством углов: $\cos(k\alpha) = \cos(\pi - (7-k)\alpha) = -\cos((7-k)\alpha)$.

$\cos(5\alpha) = -\cos(2\alpha)$

$\cos(4\alpha) = -\cos(3\alpha)$

Подставим эти соотношения в наше уравнение:

$-(-\cos(2\alpha)) - \cos(2\alpha) + (-\cos(3\alpha)) + \cos(3\alpha) = 0$

$\cos(2\alpha) - \cos(2\alpha) - \cos(3\alpha) + \cos(3\alpha) = 0$

$0 = 0$

Мы получили верное тождество. Следовательно, исходное равенство для сторон треугольника также является верным.

Ответ: Равенство $\frac{1}{BC} = \frac{1}{AC} + \frac{1}{AB}$ доказано.