Номер 868, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 868, страница 218.

868 Из вершины прямого угла С прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точки D — перпендикуляры DE и DF к катетам АС и ВС. Докажите, что:

a) $C{D}^3=AB·AE·BF;$

б) $A{E}^2+B{F}^2+3C{D}^2=A{B}^2;$

в) $\sqrt[3]{A{E}^2}+\sqrt[3]{B{F}^2}=\sqrt[3]{A{B}^2}$

Для решения задачи воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. $CD$ — высота, опущенная на гипотенузу $AB$. $DE \perp AC$ и $DF \perp BC$.Из этих условий следует, что четырехугольник $CEDF$ является прямоугольником ($ \angle C = \angle E = \angle F = 90^\circ $), поэтому $DE = CF$ и $DF = CE$.Рассмотрим треугольники $ACD$ и $BCD$. Они оба прямоугольные (углы при вершине $D$ прямые). $DE$ и $DF$ — высоты в этих треугольниках, проведенные к их гипотенузам $AC$ и $BC$ соответственно.

Основные соотношения, которые мы будем использовать:

• Для $\triangle ABC$: $AC^2 = AD \cdot AB$, $BC^2 = BD \cdot AB$, $CD^2 = AD \cdot BD$. Также $AC \cdot BC = AB \cdot CD$.
• Для $\triangle ACD$: $AD^2 = AE \cdot AC$, $CD^2 = CE \cdot AC$.
• Для $\triangle BCD$: $BD^2 = BF \cdot BC$, $CD^2 = CF \cdot BC$.

а) Докажите, что $CD^3 = AB \cdot AE \cdot BF$

Из соотношений для $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ выразим отрезки $AE$ и $BF$:$AD^2 = AE \cdot AC \implies AE = \frac{AD^2}{AC}$$BD^2 = BF \cdot BC \implies BF = \frac{BD^2}{BC}$

Подставим эти выражения в правую часть доказываемого равенства:$AB \cdot AE \cdot BF = AB \cdot \frac{AD^2}{AC} \cdot \frac{BD^2}{BC} = \frac{AB \cdot (AD \cdot BD)^2}{AC \cdot BC}$

Теперь воспользуемся соотношениями для $\triangle ABC$:$CD^2 = AD \cdot BD$ и $AC \cdot BC = AB \cdot CD$.

Подставим их в полученное выражение:$\frac{AB \cdot (CD^2)^2}{AB \cdot CD} = \frac{AB \cdot CD^4}{AB \cdot CD} = CD^3$

Мы получили, что правая часть равенства тождественно равна левой части ($CD^3$), что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что $AE^2 + BF^2 + 3CD^2 = AB^2$

Воспользуемся выражениями для $AE$ и $BF$ из пункта (а) и подставим их в левую часть равенства:$LHS = AE^2 + BF^2 + 3CD^2 = \left(\frac{AD^2}{AC}\right)^2 + \left(\frac{BD^2}{BC}\right)^2 + 3CD^2 = \frac{AD^4}{AC^2} + \frac{BD^4}{BC^2} + 3CD^2$

Используем соотношения $AC^2 = AD \cdot AB$, $BC^2 = BD \cdot AB$ и $CD^2 = AD \cdot BD$:$LHS = \frac{AD^4}{AD \cdot AB} + \frac{BD^4}{BD \cdot AB} + 3(AD \cdot BD) = \frac{AD^3}{AB} + \frac{BD^3}{AB} + 3 \cdot AD \cdot BD$

Приведем к общему знаменателю и вынесем его:$LHS = \frac{AD^3 + BD^3}{AB} + 3 \cdot AD \cdot BD$

Применим формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.$LHS = \frac{(AD+BD)(AD^2 - AD \cdot BD + BD^2)}{AB} + 3 \cdot AD \cdot BD$

Так как точка $D$ лежит на гипотенузе $AB$, то $AD+BD = AB$.$LHS = \frac{AB(AD^2 - AD \cdot BD + BD^2)}{AB} + 3 \cdot AD \cdot BD = (AD^2 - AD \cdot BD + BD^2) + 3 \cdot AD \cdot BD$

Упростим выражение:$LHS = AD^2 + 2 \cdot AD \cdot BD + BD^2$

Это формула квадрата суммы: $(AD+BD)^2$.Так как $AD+BD = AB$, получаем $LHS = AB^2$.Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в) Докажите, что $\sqrt[3]{AE^2} + \sqrt[3]{BF^2} = \sqrt[3]{AB^2}$

Рассмотрим левую часть равенства. Подставим в нее выражения для $AE$ и $BF$:$LHS = \sqrt[3]{AE^2} + \sqrt[3]{BF^2} = \sqrt[3]{\left(\frac{AD^2}{AC}\right)^2} + \sqrt[3]{\left(\frac{BD^2}{BC}\right)^2} = \sqrt[3]{\frac{AD^4}{AC^2}} + \sqrt[3]{\frac{BD^4}{BC^2}}$

Теперь подставим соотношения для катетов $AC^2 = AD \cdot AB$ и $BC^2 = BD \cdot AB$:$LHS = \sqrt[3]{\frac{AD^4}{AD \cdot AB}} + \sqrt[3]{\frac{BD^4}{BD \cdot AB}} = \sqrt[3]{\frac{AD^3}{AB}} + \sqrt[3]{\frac{BD^3}{AB}}$

Извлечем кубические корни:$LHS = \frac{\sqrt[3]{AD^3}}{\sqrt[3]{AB}} + \frac{\sqrt[3]{BD^3}}{\sqrt[3]{AB}} = \frac{AD}{\sqrt[3]{AB}} + \frac{BD}{\sqrt[3]{AB}}$

Сложим дроби:$LHS = \frac{AD+BD}{\sqrt[3]{AB}}$

Поскольку $AD+BD = AB$, получаем:$LHS = \frac{AB}{\sqrt[3]{AB}} = \frac{AB^1}{AB^{1/3}} = AB^{1 - 1/3} = AB^{2/3}$

Теперь рассмотрим правую часть равенства:$RHS = \sqrt[3]{AB^2} = (AB^2)^{1/3} = AB^{2/3}$

Левая и правая части равны, следовательно, равенство доказано.

Ответ: Доказано.