Номер 871, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 871, страница 218.

871 Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим длины его сторон как $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. По условию, противоположные стороны $AB$ и $CD$ не параллельны, то есть $AB \not\parallel CD$. Пусть точка $M$ является серединой стороны $BC$, а точка $N$ — серединой стороны $DA$. Нам необходимо доказать, что полусумма длин сторон $AB$ и $CD$ больше длины отрезка $MN$, что выражается неравенством:

$\frac{AB + CD}{2} > MN$

Доказательство:

Для доказательства используем метод вспомогательных построений. Проведем диагональ $AC$ и отметим ее середину — точку $K$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем отрезок $MK$ соединяет середины двух сторон: $M$ — середина $BC$ и $K$ — середина $AC$. Следовательно, $MK$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине:$MK \parallel AB$ и $MK = \frac{1}{2}AB$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $NK$ соединяет середины сторон $DA$ и $AC$. Таким образом, $NK$ является средней линией треугольника $ADC$. Следовательно:$NK \parallel CD$ и $NK = \frac{1}{2}CD$.

3. Теперь рассмотрим три точки $M$, $N$ и $K$. Эти точки образуют треугольник $MNK$ (который может быть вырожденным, если точки лежат на одной прямой). Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника, согласно которому длина одной стороны не может превышать сумму длин двух других сторон:$MN \le MK + NK$.

4. Подставим в это неравенство выражения для $MK$ и $NK$, полученные ранее:$MN \le \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}CD$, что равносильно $MN \le \frac{AB + CD}{2}$.

5. Проанализируем условие, при котором в этом неравенстве достигается равенство. Равенство $MN = MK + NK$ возможно только в том случае, если точка $K$ лежит на отрезке $MN$. Если точки $M$, $N$, $K$ лежат на одной прямой, то прямые, которым параллельны отрезки $MK$ и $NK$, также должны быть параллельны друг другу. Поскольку $MK \parallel AB$ и $NK \parallel CD$, из коллинеарности точек $M$, $N$, $K$ следовало бы, что $AB \parallel CD$.

6. Однако, по условию задачи, стороны $AB$ и $CD$ не параллельны. Это означает, что точки $M$, $N$ и $K$ не могут лежать на одной прямой, то есть они образуют невырожденный треугольник $MNK$. Для невырожденного треугольника неравенство треугольника всегда строгое:$MN < MK + NK$.

7. Таким образом, мы получаем строгое неравенство:$MN < \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}CD$

Переписав его, получаем то, что и требовалось доказать:$\frac{AB + CD}{2} > MN$.

Ответ: Утверждение доказано.