Номер 871, страница 218 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 871, страница 218.

Условие.

871 Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 11.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Обозначим длины его сторон как $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. По условию, противоположные стороны $AB$ и $CD$ не параллельны, то есть $AB \not\parallel CD$. Пусть точка $M$ является серединой стороны $BC$, а точка $N$ — серединой стороны $DA$. Нам необходимо доказать, что полусумма длин сторон $AB$ и $CD$ больше длины отрезка $MN$, что выражается неравенством:

$\frac{AB + CD}{2} > MN$

Доказательство:

Для доказательства используем метод вспомогательных построений. Проведем диагональ $AC$ и отметим ее середину — точку $K$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем отрезок $MK$ соединяет середины двух сторон: $M$ — середина $BC$ и $K$ — середина $AC$. Следовательно, $MK$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине:$MK \parallel AB$ и $MK = \frac{1}{2}AB$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $NK$ соединяет середины сторон $DA$ и $AC$. Таким образом, $NK$ является средней линией треугольника $ADC$. Следовательно:$NK \parallel CD$ и $NK = \frac{1}{2}CD$.

3. Теперь рассмотрим три точки $M$, $N$ и $K$. Эти точки образуют треугольник $MNK$ (который может быть вырожденным, если точки лежат на одной прямой). Для любого треугольника справедливо неравенство треугольника, согласно которому длина одной стороны не может превышать сумму длин двух других сторон:$MN \le MK + NK$.

4. Подставим в это неравенство выражения для $MK$ и $NK$, полученные ранее:$MN \le \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}CD$, что равносильно $MN \le \frac{AB + CD}{2}$.

5. Проанализируем условие, при котором в этом неравенстве достигается равенство. Равенство $MN = MK + NK$ возможно только в том случае, если точка $K$ лежит на отрезке $MN$. Если точки $M$, $N$, $K$ лежат на одной прямой, то прямые, которым параллельны отрезки $MK$ и $NK$, также должны быть параллельны друг другу. Поскольку $MK \parallel AB$ и $NK \parallel CD$, из коллинеарности точек $M$, $N$, $K$ следовало бы, что $AB \parallel CD$.

6. Однако, по условию задачи, стороны $AB$ и $CD$ не параллельны. Это означает, что точки $M$, $N$ и $K$ не могут лежать на одной прямой, то есть они образуют невырожденный треугольник $MNK$. Для невырожденного треугольника неравенство треугольника всегда строгое:$MN < MK + NK$.

7. Таким образом, мы получаем строгое неравенство:$MN < \frac{1}{2}AB + \frac{1}{2}CD$

Переписав его, получаем то, что и требовалось доказать:$\frac{AB + CD}{2} > MN$.

Ответ: Утверждение доказано.