Номер 876, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Задачи повышенной трудности. Задачи к главе 8 - номер 876, страница 219.

Условие.

876 Отрезки AA₁, BB₁ и СС₁ соединяют вершины треугольника ABC с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 11.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Поместим начало координат в вершину $A$ треугольника $ABC$. Тогда вершинам треугольника будут соответствовать векторы $\vec{A} = \vec{0}$, $\vec{B}$ и $\vec{C}$. Поскольку точки $A, B, C$ являются вершинами треугольника, векторы $\vec{B}$ и $\vec{C}$ неколлинеарны.

Точки $A_1, B_1, C_1$ являются внутренними точками сторон $BC, AC, AB$ соответственно. Их положение можно описать с помощью векторов:

• Точка $A_1$ лежит на отрезке $BC$, поэтому ее радиус-вектор $\vec{A_1}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{B}$ и $\vec{C}$: $\vec{A_1} = (1-\alpha)\vec{B} + \alpha\vec{C}$ для некоторого $\alpha \in (0, 1)$.
• Точка $B_1$ лежит на отрезке $AC$, поэтому $\vec{B_1} = (1-\beta)\vec{A} + \beta\vec{C}$. Так как $\vec{A} = \vec{0}$, получаем $\vec{B_1} = \beta\vec{C}$ для некоторого $\beta \in (0, 1)$.
• Точка $C_1$ лежит на отрезке $AB$, поэтому $\vec{C_1} = (1-\gamma)\vec{A} + \gamma\vec{B}$. Так как $\vec{A} = \vec{0}$, получаем $\vec{C_1} = \gamma\vec{B}$ для некоторого $\gamma \in (0, 1)$.

Параметры $\alpha, \beta, \gamma$ находятся в интервале $(0, 1)$, поскольку точки $A_1, B_1, C_1$ являются внутренними точками сторон, то есть не совпадают с вершинами треугольника.

Пусть $M, N, P$ — середины отрезков $AA_1, BB_1, CC_1$ соответственно. Найдем их радиус-векторы:

• $\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{A_1}}{2} = \frac{\vec{0} + (1-\alpha)\vec{B} + \alpha\vec{C}}{2} = \frac{1-\alpha}{2}\vec{B} + \frac{\alpha}{2}\vec{C}$
• $\vec{N} = \frac{\vec{B} + \vec{B_1}}{2} = \frac{\vec{B} + \beta\vec{C}}{2} = \frac{1}{2}\vec{B} + \frac{\beta}{2}\vec{C}$
• $\vec{P} = \frac{\vec{C} + \vec{C_1}}{2} = \frac{\vec{C} + \gamma\vec{B}}{2} = \frac{\gamma}{2}\vec{B} + \frac{1}{2}\vec{C}$

Чтобы доказать, что точки $M, N, P$ не лежат на одной прямой, мы предположим обратное — что они коллинеарны, — и покажем, что это приводит к противоречию.

Если точки $M, N, P$ коллинеарны, то векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$ должны быть коллинеарны. Найдем эти векторы:

$\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \left(\frac{1}{2}\vec{B} + \frac{\beta}{2}\vec{C}\right) - \left(\frac{1-\alpha}{2}\vec{B} + \frac{\alpha}{2}\vec{C}\right) = \left(\frac{1}{2} - \frac{1-\alpha}{2}\right)\vec{B} + \left(\frac{\beta}{2} - \frac{\alpha}{2}\right)\vec{C} = \frac{\alpha}{2}\vec{B} + \frac{\beta-\alpha}{2}\vec{C}$

$\vec{MP} = \vec{P} - \vec{M} = \left(\frac{\gamma}{2}\vec{B} + \frac{1}{2}\vec{C}\right) - \left(\frac{1-\alpha}{2}\vec{B} + \frac{\alpha}{2}\vec{C}\right) = \left(\frac{\gamma}{2} - \frac{1-\alpha}{2}\right)\vec{B} + \left(\frac{1}{2} - \frac{\alpha}{2}\right)\vec{C} = \frac{\gamma+\alpha-1}{2}\vec{B} + \frac{1-\alpha}{2}\vec{C}$

Поскольку векторы $\vec{B}$ и $\vec{C}$ не коллинеарны, векторы $\vec{MN}$ и $\vec{MP}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты в базисе $\{\vec{B}, \vec{C}\}$ пропорциональны. Это эквивалентно равенству нулю определителя, составленного из координат этих векторов:$ \det \begin{pmatrix} \frac{\alpha}{2} & \frac{\gamma+\alpha-1}{2} \\ \frac{\beta-\alpha}{2} & \frac{1-\alpha}{2} \end{pmatrix} = 0 $

Раскрывая определитель, получаем:$ \frac{\alpha}{2} \cdot \frac{1-\alpha}{2} - \frac{\gamma+\alpha-1}{2} \cdot \frac{\beta-\alpha}{2} = 0 $

Умножим обе части на 4:$ \alpha(1-\alpha) - (\gamma+\alpha-1)(\beta-\alpha) = 0 $$ \alpha - \alpha^2 - (\gamma\beta - \gamma\alpha + \alpha\beta - \alpha^2 - \beta + \alpha) = 0 $$ \alpha - \alpha^2 - \gamma\beta + \gamma\alpha - \alpha\beta + \alpha^2 + \beta - \alpha = 0 $$ -\gamma\beta + \gamma\alpha - \alpha\beta + \beta = 0 $

Сгруппируем члены:$ \beta(1-\gamma) + \alpha(\gamma-\beta) = 0 $$ \beta - \beta\gamma + \alpha\gamma - \alpha\beta = 0 $$ \beta + \alpha\gamma = \beta\gamma + \alpha\beta $$ \alpha\gamma = \beta(\alpha + \gamma) - \beta $$ \alpha\gamma = \beta(\alpha + \gamma - 1) $

Итак, предположение о коллинеарности точек $M, N, P$ приводит к равенству $\alpha\gamma = \beta(\alpha + \gamma - 1)$. Проанализируем это равенство.По условию, $\alpha, \beta, \gamma$ — положительные числа из интервала $(0, 1)$.Следовательно, левая часть равенства $\alpha\gamma$ строго положительна.Значит, и правая часть $\beta(\alpha + \gamma - 1)$ должна быть строго положительна. Так как $\beta > 0$, это требует, чтобы $\alpha + \gamma - 1 > 0$, или $\alpha + \gamma > 1$.

Из равенства выразим $\beta$:$ \beta = \frac{\alpha\gamma}{\alpha + \gamma - 1} $

По условию, точка $B_1$ является внутренней точкой отрезка $AC$, что означает $\beta \in (0, 1)$. Проверим, возможно ли это. Условие $\beta > 0$ выполняется, так как числитель и знаменатель положительны. Проверим условие $\beta < 1$:$ \frac{\alpha\gamma}{\alpha + \gamma - 1} < 1 $

Поскольку знаменатель $\alpha + \gamma - 1$ положителен, мы можем умножить на него обе части неравенства, не меняя знака:$ \alpha\gamma < \alpha + \gamma - 1 $$ \alpha\gamma - \alpha - \gamma + 1 < 0 $$ \alpha(\gamma - 1) - (\gamma - 1) < 0 $$ (\alpha - 1)(\gamma - 1) < 0 $

Однако, по условию задачи $\alpha \in (0, 1)$ и $\gamma \in (0, 1)$. Это означает, что $\alpha - 1 < 0$ и $\gamma - 1 < 0$. Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:$ (\alpha - 1)(\gamma - 1) > 0 $

Мы пришли к противоречию: из предположения о коллинеарности точек $M, N, P$ и условия $\beta < 1$ следует, что $(\alpha - 1)(\gamma - 1) < 0$, но из условий задачи известно, что $(\alpha - 1)(\gamma - 1) > 0$.Следовательно, предположение о том, что точки $M, N, P$ лежат на одной прямой, неверно.

Ответ: Что и требовалось доказать.