Номер 879, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 879, страница 219.

879 Стороны треугольника EFG соответственно равны медианам треугольника ABC. Докажите, что S_EFGS_ABC = 34.

Пусть в треугольнике $ABC$ стороны равны $a, b, c$. Медианы, проведенные к этим сторонам, обозначим как $m_a, m_b, m_c$. По условию, стороны треугольника $EFG$ равны этим медианам: $EF = m_a, FG = m_b, GE = m_c$. Требуется доказать, что отношение площади треугольника $EFG$ к площади треугольника $ABC$ равно $\frac{3}{4}$.

Для доказательства выполним геометрическое построение. Пусть $AA_1, BB_1, CC_1$ — медианы треугольника $ABC$, пересекающиеся в точке (центроиде) $M$. Известно, что центроид делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины ($AM = \frac{2}{3}m_a$, $BM = \frac{2}{3}m_b$, $CM = \frac{2}{3}m_c$), и делит треугольник на три треугольника равной площади ($S_{BMC} = \frac{1}{3}S_{ABC}$).

Продолжим отрезок $MA_1$ за точку $A_1$ и отложим отрезок $A_1D$ так, что $A_1D = MA_1$. Рассмотрим четырехугольник $MBDC$. Его диагонали $BC$ и $MD$ пересекаются в точке $A_1$, которая является их серединой ($BA_1 = A_1C$ по определению медианы, $MA_1 = A_1D$ по построению). Следовательно, $MBDC$ — это параллелограмм.

В параллелограмме $MBDC$ противоположные стороны равны, поэтому $DB = MC$. Теперь определим длины сторон треугольника $MBD$. Сторона $MB$ равна $\frac{2}{3}m_b$. Сторона $DB$ равна $MC$, что составляет $\frac{2}{3}m_c$. Сторона $MD$ равна $2 \cdot MA_1 = 2 \cdot (\frac{1}{3}m_a) = \frac{2}{3}m_a$.

Таким образом, стороны треугольника $MBD$ равны $\frac{2}{3}m_a$, $\frac{2}{3}m_b$ и $\frac{2}{3}m_c$. Это означает, что треугольник $MBD$ подобен треугольнику $EFG$ (у которого стороны $m_a, m_b, m_c$) с коэффициентом подобия $k = \frac{2}{3}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$\frac{S_{MBD}}{S_{EFG}} = k^2 = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$.Отсюда следует, что $S_{MBD} = \frac{4}{9}S_{EFG}$.

Теперь найдем площадь треугольника $MBD$ другим способом. Рассмотрим треугольники $MBD$ и $MBC$. У них общее основание $MB$. Высоты, проведенные из вершин $D$ и $C$ к прямой, содержащей основание $MB$, равны, поскольку в параллелограмме $MBDC$ сторона $DC$ параллельна стороне $MB$. Следовательно, площади этих треугольников равны: $S_{MBD} = S_{MBC}$.

Как упоминалось ранее, центроид $M$ делит треугольник $ABC$ на три равновеликих треугольника, поэтому $S_{MBC} = \frac{1}{3}S_{ABC}$.Значит, $S_{MBD} = \frac{1}{3}S_{ABC}$.

Приравнивая два полученных выражения для площади $S_{MBD}$, имеем:$\frac{4}{9}S_{EFG} = \frac{1}{3}S_{ABC}$.

Из этого равенства выражаем искомое отношение:$\frac{S_{EFG}}{S_{ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$.Доказательство завершено.

Ответ: $\frac{S_{EFG}}{S_{ABC}} = \frac{3}{4}$.