Номер 881, страница 219 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 8. Задачи повышенной трудности. Глава 9. Окружность - номер 881, страница 219.

881 Через вершину А параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая прямые BD, CD и ВС соответственно в точках М, N и Р. Докажите, что отрезок AM является средним пропорциональным между MN и МР.

Чтобы доказать, что отрезок $AM$ является средним пропорциональным между отрезками $MN$ и $MP$, необходимо установить справедливость равенства $AM^2 = MN \cdot MP$. Это равенство, в свою очередь, эквивалентно пропорции $\frac{AM}{MN} = \frac{MP}{AM}$. Мы докажем это утверждение с помощью подобных треугольников.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle NMD$. Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. Так как точки $N$ и $D$ лежат на прямой $CD$, то $AB \parallel DN$.

• Углы $\angle AMB$ и $\angle NMD$ равны как вертикальные.
• Углы $\angle ABM$ и $\angle NDM$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BD$.

Следовательно, $\triangle AMB \sim \triangle NMD$ по двум углам. Из подобия треугольников следует соотношение сторон:$$ \frac{AM}{NM} = \frac{AB}{ND} $$Запишем это как: $\frac{AM}{MN} = \frac{AB}{DN}$ (1)

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMD$ и $\triangle PMB$. Стороны $AD$ и $BC$ параллелограмма также параллельны ($AD \parallel BC$). Так как точки $P$ и $B$ лежат на прямой $BC$, то $AD \parallel PB$.

• Углы $\angle AMD$ и $\angle PMB$ равны как вертикальные.
• Углы $\angle ADM$ и $\angle PBM$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BD$.

Таким образом, $\triangle AMD \sim \triangle PMB$ по двум углам. Из их подобия следует:$$ \frac{AM}{PM} = \frac{AD}{PB} $$Перевернув вторую дробь, получим: $\frac{MP}{AM} = \frac{PB}{AD}$ (2)

Сравнивая равенства (1) и (2), мы видим, что для доказательства исходного утверждения ($\frac{AM}{MN} = \frac{MP}{AM}$) нам достаточно доказать равенство правых частей этих пропорций:$$ \frac{AB}{DN} = \frac{PB}{AD} $$Это равносильно доказательству равенства $AB \cdot AD = DN \cdot PB$.

Для доказательства этого равенства рассмотрим еще одну пару подобных треугольников: $\triangle ADN$ и $\triangle CPN$.

• Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, а значит $AD \parallel PC$.
• Углы $\angle AND$ и $\angle PNC$ равны как вертикальные.
• Углы $\angle DAN$ и $\angle CPN$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $PC$ и секущей $AP$.

Следовательно, $\triangle ADN \sim \triangle CPN$ по двум углам. Из подобия получаем:$$ \frac{AD}{PC} = \frac{DN}{CN} \implies AD \cdot CN = PC \cdot DN $$Рассмотрим два возможных случая расположения точек.
Случай 1: Прямая пересекает сторону $CD$ (N лежит на отрезке $CD$) и продолжение стороны $BC$ за точку $C$. Тогда $CN = CD - DN$ и $PC = PB - BC$.Подставляя в равенство $AD \cdot CN = PC \cdot DN$:$AD \cdot (CD - DN) = (PB - BC) \cdot DN$$AD \cdot CD - AD \cdot DN = PB \cdot DN - BC \cdot DN$Поскольку $AD = BC$ (свойства параллелограмма), слагаемые $-AD \cdot DN$ и $-BC \cdot DN$ сокращаются.Получаем $AD \cdot CD = PB \cdot DN$. Так как $CD = AB$, то $AD \cdot AB = PB \cdot DN$.
Случай 2: Прямая пересекает сторону $BC$ (P лежит на отрезке $BC$) и продолжение стороны $CD$ за точку $C$. Тогда $CN = DN - CD$ и $PC = BC - PB$.Подставляя в равенство $AD \cdot CN = PC \cdot DN$:$AD \cdot (DN - CD) = (BC - PB) \cdot DN$$AD \cdot DN - AD \cdot CD = BC \cdot DN - PB \cdot DN$Поскольку $AD = BC$, слагаемые $AD \cdot DN$ и $BC \cdot DN$ сокращаются.Получаем $-AD \cdot CD = -PB \cdot DN$, что равносильно $AD \cdot CD = PB \cdot DN$. И снова, так как $CD=AB$, получаем $AD \cdot AB = PB \cdot DN$.

Таким образом, в обоих случаях мы доказали, что $AB \cdot AD = DN \cdot PB$, что подтверждает равенство $\frac{AB}{DN} = \frac{PB}{AD}$.

Возвращаясь к равенствам (1) и (2), мы можем заключить, что их правые части равны. Следовательно, равны и левые:$$ \frac{AM}{MN} = \frac{MP}{AM} $$Из этой пропорции следует $AM^2 = MN \cdot MP$. Это означает, что отрезок $AM$ является средним пропорциональным между отрезками $MN$ и $MP$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, приведённое в условии задачи, доказано.